ЗАДАЧА 4. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения простейшей задачи:

предположим что

Подставим в исходное уравнение:

ЗАДАЧА 5. Решить задачу Больца.

10.

- Интегрант

- Терминант

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи Больца:

.

– экстремаль

Воспользуемся условиями трансверсальности:

– экстремаль

Воспользуемся условиями трансверсальности:

Посчитаем каждый элемент:

Тогда условия трансверсальности запишутся:

Мы будем использовать эти уравнения как краевые условия для нахождения констант .

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

(Запишем, сразу группируя интегральную и неинтегральную части)

Проинтегрируем по частям: , где:

А также воспользуемся условием: и
в подстановке 0 и 1 (для подсчета значения элемента ):

ЗАДАЧА 6. Решить изопериметрическую задачу.

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи:

.

1) – нет решений (Лагранжиан не м. б. равен нулю)

2)

ЗАДАЧА 7. Решить задачу с подвижными концами.

Выпишем, как положено, функцию Лагранжа:

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи с подвижными концами:

.

Воспользуемся условиями трансверсальности:

Посчитаем каждый элемент:

Тогда условия трансверсальности запишутся:

Запишем условие стационарности:

Пусть Тогда также равны нулю – нет решений.

Пусть , тогда:

Если , найдем константы, используя краевые условия:

,

В уравнение стационарности также подставим , используя уравнение, написанное выше:

Рассмотрим , тогда а – что является недопустимым значением

Рассмотрим , тогда и

Итак, мы получили:

,

; ,

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

Воспользуемся и h(0)=0 (в силу наложенного ограничения на левый конец).

Также, стоит выразить значение из уравнения , помня, что , а

Итак:

– следовательно найденная точка является точкой минимума.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров