Б Критерии грубых погрешностей

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным. Cуществуют разные критерии. Рассмотрим один из них.

5 Критерий Грабса или n - критерий.

Определяются расчетные значения

(1.9)

и сравниваются с табличными

t_Г = f (q; k), (1.10)

где q = (1 – p_Д) - уровень значимости, %

p_Д - принятая доверительная вероятность, %

k = (n - 1) - число степеней свободы,

n - число результатов измерений.

Обычно уровень значимости берется равным 5% или 10%.

Если выполняется критерий

t_i < t_Г, (1.11)

то в результате X_i грубых погрешностей нет и расчет продолжается.

Если критерий (1.11) не выполняется, то результат - как промах отбрасывается и расчеты по п.1 – п.4 повторяют при новом числе наблюдений

n^/ = n - 1.

6 Записываются результаты точечной оценки

=, ,

Следует отметить, что величины используются при оценке погрешности окончательного результата измерения, а - при оценке погрешности метода измерения.

Точечные оценки результатов измерений указывают интервал значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение

. (1.12)

Но т.к. и - величины случайные, то необходимо рассмотреть вопрос о точности и надежности этой оценки, т.е. проводится их интервальная вероятностная оценка.

В Интервальная оценка

При интервальной оценке определяется доверительный интервал, который накрывает истинное значение измеряемой величины (истинное значение оказывается внутри этого интервала) с заданной доверительной вероятностью p_Д , (1.13)

где J (p_Д) = 2e - доверительный интервал;

()- доверительные границы.

7 Оценка доверительного интервала математического ожидания :

а) при нормальном законе распределения погрешностей

, (1.14)

где t = f (p_Д) - коэффициент стандартного нормального закона распределения находится по таблице функций Лапласа

, (1.15)

Ф(t) = 0,5p_Д.

б) при распределении Стьюдента

, (1.16)

где t_p = f(q; k) - коэффициент Стьюдента находится по таблице распределения Стьюдента.

При оценке доверительного интервала случайной погрешности по формулам(1.14) и (1.16) необходимо знать закон распределения случайных результатов. Приближенно это можно сделать по формуле Петерса

(1.17)

если

, (1.18)

то опытное распределение считается нормальным. В противном случае пользуются распределением Стьюдента.

В практике измерений доверительную вероятность при оценке доверительного интервала принимают равной p_Д = 0.95.

8 Оценка доверительного интервала с. к. о.

(1.19)

где

(1.20)

c²_В = f (k; q_В); c²_Н = f (k; q_Н); q_В = 1– p_В; q_Н = 1– p_Н; p_В = (1 + p_Д)/2;

p_Н = (1 – p_Д)/2;

k = (n –1) – число степеней свободы ряда результатов измерений.

Значения c² находят по таблице распределения Пирсона , а доверительная вероятность берётся равной 0.9.

9 Записываются результаты измерения

, при p_Д = 0,95,

при p_Д = 0,9.

При расчёте погрешностей необходимо пользоваться следующими правилами округления:

1)погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2; и одной - если первая цифра равна 3 и более;

2)результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности;

3)округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками.

1.2 Варианты заданий к разделу 1.1 (результаты измерений исправлены)

Примечания: 1) обработку результатов измерений необходимо провести с учётом свойств математического ожидания M(x) и дисперсии D(x);

2) номер варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы по зачётной ведомости.

1.3 Свойства математического ожидания и дисперсии

Математическое ожидание случайной величины q – это среднее значение, вокруг которого группируются все результаты измерения.

Дисперсией случайной величины q называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания

В связи с тем, что единица дисперсии (единица ФВ возведённая в квадрат) неудобна для применения, на практике при точечной оценке случайной величины используется среднее квадратическое отклонение (с. к. о.)

1 Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности уменьшить (увеличить) на некоторое число a, то:

а) математическое ожидание уменьшится (увеличится) на это же число

б) дисперсия не изменится

2 Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности, умножить на некоторый множитель b (> 1 или < 1), то:

а) математическое ожидание умножится на этот же множитель

б) дисперсия D (q) умножится на квадрат этого множителя

3 а) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

б) дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

4 а) математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

б) дисперсия постоянной величины a равна 0

Пример:

При измерении случайной величины q с математическим ожиданием и дисперсией получен следующий исправленный ряд результатов

.

Каждый результат уменьшается на одно и то же постоянное число a и умножается на один и тот же постоянный множитель b. Получается случайная величина

для другого ряда результатов

По формулам раздела 1.1 находится математическое ожидание и дисперсия второго ряда.

Исходя из первого и второго свойств математического ожидания и дисперсии, определяются и для исходного ряда результатов измерений:

а) ;

б)

Величины a и b выбираются исходя из максимального уменьшения разрядов чисел первого ряда для получения второго ряда с целью упрощения вычислений.

2 Методика обработки косвенных видов измерений

При косвенных видах измерений значение искомой величины Y получают на основании прямых видов измерений величин , связанных с измеряемой известной функциональной зависимостью

, (2.1)

где - подлежащие прямым измерениям аргументы функции искомой величины Y.

2.1 Общий случай

В уравнениях связи аргументы представлены в виде результатов многократных прямых видов измерений

………………….;

(2.2)

………………….;

где - число результатов прямых видов измерений аргументов ;

- число аргументов в уравнении связи (2.1).

Исходя из уравнений связи (2.1) необходимо найти искомый результат Y.

1 На основании формул (1.5) и (1.8) раздела 1.1 проводится точечная оценка каждого аргумента, т. е. находятся значения и . Точечная оценка приводит к результатам

(2.3)

2 Исходя из уравнения связи (2.1) оценивается искомый результат

. (2.4)

3 Оценка дисперсии искомого результата

, (2.5)

где - частная производная аргумента , которая называется коэффициентом влияния.

Следует отметить, что при - такие коэффициенты влияния не учитываются.

Произведения частных производных уравнения связи на с. к. о. результатов измерения соответствующих аргументов называются частными погрешностями косвенного измерения

. (2.6)

Оценка коэффициента корреляции между каждой парой аргументов определяется по формуле

, (2.7)

где - наименьшее из чисел наблюдений n_k и n_l соответственно аргументов и .

Коэффициент корреляции определяет степень связи между случайными величинами. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале .

Коэффициент корреляции тогда и только тогда, когда между результатами наблюдений и существует линейная функциональная зависимость (погрешности измеряемых ФВ являются зависимыми).

Если , то погрешности измерения аргументов и некоррелированы (погрешности измеряемых ФВ являются независимыми). В этом случае формула (2.5) примет вид

. (2.8)

Формула (2.8) обычно справедлива, когда рассматриваемые аргументы и измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устройству средства измерений.

Корреляция между погрешностями аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т.п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений.

Критерием отсутствия корреляции между рассматриваемой парой аргументов и является выполнение неравенства

< , (2.9)

где ; (2.10)

- коэффициент Стьюдента;

- уровень значимости;

- принятая доверительная вероятность.

4 Оценка погрешности искомого результата:

а) Если число результатов, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25 – 30, то

(2.11)

где t = f (р_Д) - коэффициент стандартного нормального распределения находится по таблице П.1 функции Лапласа.

б) При меньшем числе наблюдений пользуются распределением Стьюдента (см. табл. П-4)

(2.12)

где t_p=f(q; k_эф) - коэффициент Стьюдента.

Эффективное число степеней свободы k_эф определяется по формуле

(2.13)

где n_j – число результатов прямых измерений аргумента _.

При равном числе наблюдений всех аргументов, т.е. при n₁= …= n_m= n

(2.14)

Эффективное число степеней свободы обычно получается дробным, поэтому для отыскания величины t_p данные табл. П-4 приходиться интерполировать.

Окончательный результат записывается в виде

, при . (2.15)

2.2 Частный случай

В уравнениях связи (2.1) значения аргументов заданы в виде

….; (2.16)

т. е. заданы своими доверительными интервалами

, (2.17)

где - коэффициент аргумента , зависящий от принятого закона распределения результатов измерения этого аргумента и принятой доверительной вероятности .

При отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями измерений аргументов (коэффициент корреляции ) и при одинаковой доверительной вероятности всех аргументов () уравнения связи (2.1), оценка погрешности искомого результата будет иметь вид

. (2.18)

Формула (2.17) получена из равенства (2.8) путём умножения левой и правой частей его на коэффициент . Окончательный результат записывается аналогично (2.15).

2.4 Погрешности результата косвенного вида измерений

для наиболее распространённых уравнений связи

1. . (2.24)

2. . (2.25)

3. . (2.26)

4. . (2.27)

5 . (2.28)

6. (2.29)

Если в уравнениях связи (2.28) и (2.29) аргументы заданы своими доверительными интервалами (2.16) и (2.17), то уравнения погрешностей (2.28) и (2.29) соответственно примут вид

, (2.30)

. (2.31)

Примечания:

1 Во всех формулах для с. к. о. считается, что аргументы некоррелированы (независимы).

2 При возведении в степень значительно увеличивается погрешность результата, поэтому измерение величин, которые при дальнейших вычислениях возвышаются в степень, должно производится с особой точностью.

3 Величины, из которых при дальнейшей обработке извлекаются корни, могут измеряться с меньшей точностью, поскольку погрешность таких величин при обработке уменьшается.

2.5 Варианты первого задания к разделу 2

Провести обработку косвенных видов измерений по заданным уравнениям связи в соответствии с данными таблицы 2.1.

Таблица 2.1 - Уравнения связи

№ варианта
Уравнение связи
№ варианта
Уравнение связи

Примечание к табл. 2.1: № варианта уравнения связи соответствует последней цифре № зачётной книжки студента.

Варианты заданий аргументов для уравнений связи приведены в таблице 2.2

Таблица 2.2 - Варианты заданий аргументов

Варианты заданий	Номера аргументов	Варианты заданий	Номера аргументов

Примечания к табл. 2.2:

1 № варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в зачетной ведомости.

2 № аргументов соответствует номерам вариантов заданий к разделу 1.1.

2.6 Варианты второго задания к разделу 2

По известной расчетной зависимости косвенного метода измерения (искомый результат) и по известным результатам и погрешностям прямых измерений получить формулу и среднеквадратическую оценку погрешности косвенного измерения δу_ск.

Таблица 2.3 – Исходные данные для расчета

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.: Энергия, 1978.- 262с.

2.ГОСТ 8.009-84. Государственная система обеспечения единства измерений. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.

3.ГОСТ 8.401-80. ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования.

4.ГОСТ 21.404-85. Автоматизация технологических процессов. Обозначения условные приборов и средств автоматизации.

5.Клюев А.С. и др. Техника чтения схем автоматического управления и технологического контроля. - М.: Энергоатомиздат, 1983, с.30-49.

6.Прахова М.Ю. Основные принципы построения систем автоматического управления и технологического контроля: Учебное пособие.- Уфа: Изд-во УГНТУ, 1996.- 112с.

7.Шаловников Э.А. Автоматизация процессов подготовки газа на газодобывающих предприятиях: Конспект лекций. - Уфа: Изд-во УНИ, 1983.- 51 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица П 1.1 - Значения нормированной функции Лапласа

Примечание. Значения Ф(t) при t = 3,0 ÷ 4,5 следующие:

Таблица П 1.2 - Значения χ² - распределения Пирсона c² = f (q; k)

Число степеней свободы k = n – 1	Уровень значимости q, %
	0,00016	0,00063	0,00393	0,0158	0,0642	0,148	0,455
	0,0201	0,0404	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386
	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,366
	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,195	3,357
	0,554	0,752	1,145	1,610	2,343	3,000	4,351
	0,872	1,134	1,635	2,204	3,070	3,828	5,348
	1,239	1,564	2,167	2,833	3,822	4,671	6,346
	1,646	2,032	2,733	3,490	4,594	5,527	7,344
	2,088	2,532	3,325	4,168	5,380	6,393	8,343
	2,558	3,059	3,940	4,865	6,179	7,267	9,342
	3,053	3,609	4,575	5,578	6,989	8,148	10,341
	3,571	4,178	5,226	6,304	7,807	9,034	11,340
	4,107	4,765	5,892	7,042	8,634	9,926	12,340
	4,660	5,368	6,571	7,790	9,467	10,821	13,339
	5,229	5,985	7,261	8,547	10,307	11,721	14,339
	5,812	6,614	7,962	9,312	11,152	12,624	15,338
	6,408	7,255	8,672	10,085	12,002	13,531	16,338
	7,015	7,906	9,390	10,865	12,857	14,440	17,338
	7,633	8,567	10,117	11,651	13,716	15,352	18,338
	8,260	9,237	10,851	12,443	14,578	16,266	19,337
	8,897	9,915	11,591	13,240	15,445	17,182	20,337
	9,542	10,600	12,338	14,041	16,314	18,101	21,337
	10,196	11,293	13,091	14,848	17,187	19,021	22,337
	10,856	11,992	13,848	15,659	18,062	19,943	23,337
	11,524	12,697	14,611	16,473	18,940	20,867	24,337
	12,198	13,409	15,379	17,292	19,820	21,792	25,336
	12,879	14,125	16,151	18,114	20,703	22,719	26,336
	13,565	14,847	16,928	18,939	21,588	23,647	27,336
	14,256	15,574	17,708	19,768	22,475	24,577	28,336
	14,953	16,306	18,493	20,599	23,364	25,508	29,336
Продолжение табл. П1.2
Число степеней свободы k = n – 1	Уровень значимости q, %
						0,5
	1,074	1,642	2,706	3,841	5,412	6,635	7,879
	2,408	3,219	4,605	5,991	7,824	9,210	10,597
	3,665	4,642	6,251	7,815	9,837	11,345	12,838
	4,878	5,989	7,779	9,488	11,668	13,277	14,860
	6,064	7,289	9,236	11,070	13,388	15,086	16,750
	7,231	8,558	10,645	12,592	15,033	16,812	18,548
	8,383	9,803	12,017	14,067	16,622	18,475	20,278
	9,524	11,030	13,362	15,507	18,168	20,090	21,955
	10,656	12,242	14,684	16,919	19,679	21,666	23,589
	11,781	13,442	15,987	18,307	21,161	23,209	25,188
	12,899	14,631	17,275	19,675	22,618	24,725	26,757
	14,011	15,812	18,549	21,026	24,054	26,217	28,300
	15,119	16,985	19,812	22,362	25,472	27,688	29,819
	16,222	18,151	21,064	23,685	26,873	29,141	31,319
	17,322	19,311	22,307	24,996	28,259	30,578	32,801
	18,418	20,465	23,542	26,296	29,633	32,000	34,267
	19,511	21,615	24,769	27,587	30,995	33,409	35,718
	20,601	22,760	25,989	28,869	32,346	34,805	37,156
	21,689	23,900	27,204	30,144	33,687	36,191	38,582
	22,775	25,038	28,412	31,410	35,020	37,566	39,997
	23,858	26,171	29,615	32,671	36,343	38,932	41,401
	24,939	27,301	30,813	33,924	37,659	40,289	42,796
	26,018	28,429	32,007	35,172	38,968	41,638	44,181
	27,09 ⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒ Поделиться: Познавательные статьи:  Психологические особенности спортивного соревнования Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Занятость населения и рынок труда Социальный статус семьи и её типология 
	Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 780; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.216.156 (0.008 с.)