Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности p

,

где сколь угодно малые положительные числа.

Большое значение этой теоремы в том, что по статистической вероятности можно с большой долей вероятности оценивать классическую вероятность.

Теорема Пуассона утверждает, что если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i- м опыте равна , то при увеличении n частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей

.

3.5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин.

Если , … независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения.

При определенных условиях эта теорема справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых.

Например, в качестве таких условий можно привести условия А.М.Ляпунова:

,

где третий абсолютный центральный момент величины :

.

Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдеберга:

при любом

где математическое ожидание, плотность распределения случайной величины .

Список задач по теории вероятностей, используемых

на занятиях по этой дисциплине.

Примеры решения некоторых задач по теории вероятностей

5.1.Непосредственный подсчет вероятностей.

В партии из изделий бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки изделий ровно окажутся бракованными.

Решение. Число возможных способов взять изделий из равно . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа бракованных изделий взято (это можно сделать способами), а остальные - изделий не бракованные (это можно сделать способами. Поэтому число благоприятствующих случаев равно . Искомая вероятность равна

.

5.2. Геометрические вероятности.

В любые моменты промежутка времени равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит.

Решение. Пусть и - моменты поступления сигналов в приемник.

Областью возможных значений , является квадрат площадью . Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямыми и . Ее площадь равна , поэтому искомая вероятность равна

.

5.3. Теорема умножения вероятностей.

Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% не бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие не бракованное, а событие В – выбранное изделие первосортное. Тогда вероятность Р(А) = 1-0,04 = 0,96, а условная вероятность Р(В/А) = 0,75. Искомая вероятность равна вероятности произведения двух событий АВ: =Р(АВ) = 0,96×0,75 = 0,72.

5.4. Теорема сложения вероятностей.

Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того, чтобы поразить самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна , второго двигателя , кабины пилота . Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Решение. Событие А – поражение самолета есть сумма двух совместных событий: Д – поражение обоих двигателей и К – поражение кабины. Следовательно, Р(А) = Р(Д)+Р(К)-Р(ДК) = + - .

5.5. Формула полной вероятности.

Прибор может работать в двух режимах: нормальном и не нормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а не нормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя в нормальном режиме равна 0,1, а в не нормальном – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя.

Решение. В соответствии с формулой полной вероятности искомая вероятность равна = 0,8×0,1+0,2×0,7=0,22.

5.6. Формула Байеса.

В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 отличника, 4 хорошиста, 2 троечника и 1 двоечник. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отличник может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный может ответить на 16 вопросов, троечник – на10, двоечник – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент отличник.

Решение. Выдвигаем четыре гипотезы: студент отличник; студент хорошист; студент троечник; студент двоечник. До опыта: ; ; ; . Событие А – это то, что вызванный студент ответил на три вопроса. Условная вероятность этого события равна

; ; ; . После опыта, применяя формулу Байеса, имеем:

.

Для сравнения вычислим вероятность, что отвечавший студент был двоечник:

.

Формула Бернулли

Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: три партии из четырех или пять из восьми?

Решение. Так как противники равные, то вероятность выигрыша у них равна 0,5. Применяя, формулу Бернулли имеем:

;

;

т.е. .

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология