Решение краевой задачи для линейного

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

дифференциального уравнения второго порядка
методом прогонки

Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения:

, (1)

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

;	(2) ;

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений искомого решения в точках . Для этого разобьем отрезок на равных частей с шагом . Полагая и вводя обозначения , , для внутренних точек отрезка , вместо дифференциального уравнения (1)–(2) получаем систему конечноразностных уравнений:

После соответствующих преобразований будем иметь

, , (3)

где

.

Полученная система имеет линейных уравнений с неизвестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно , будем иметь

.

Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

, (4)

где – некоторые коэффициенты.

Отсюда . Подставляя это выражение в (3), получим и, следовательно,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения рекуррентные формулы:

.

Определим :

.

Из формулы (4) при имеем

. (6)

Поэтому

, . (7)

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты до включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения . Решая систему

,

получим

и по формуле (4) последовательно находим .

Для простейших краевых условий формулы для упрощаются. Полагая получим .

Отсюда .

Пример. Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

Таблица 10

		-0,498	-0,662	-0,878	-0,890	-0,900
		0,001	0,002	0,004	0,008	0,012
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
		-0,025	-0,049	-0,072	-0,078	-0,081
		-0,015	-0,029	-0,041	-0,050	-0,057

	-0,908	-0,915	-0,921	-0,926
	0,16	0,022	0,028	0,035
	0,6	0,7	0,8	0,9
	-0,078	-0,070	-0,055	-0,032
	-0,058	-0,054	-0,044	-0,026

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью .

2. Решить уравнение методом Ньютона и итерации с точностью .

3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменённым Ньютона с точностью .

4. Решить систему методом простой итерации с точностью .

	С	d		С	d

5. Решить систему методом Зейделя с точностью .

	А	b		A	b

6. Решить систему методом простой итерации с точностью .

7. Решить систему методом Ньютона с точностью .

8. По заданным значениям и найти прямую и параболу методом наименьших квадратов. Найти погрешность. Построить прямую и кривую в той же системе координат, где нанесены данные точки.

9. 1) Заданы значения функции в узлах , получающиеся делением отрезка на 5 частей. Найти значения функции при и с помощью интерполяционных формул Ньютона.

0,1	1,0	1,1	0,9	0,9	0,8	1,1	1,0	1,2	1,2	1,1	0,8	0,8	0,8	1,1
1,2	2,1	2,2	2,0	1,9	2,0	2,2	2,1	1,8	2,0	1,9	2,0	2,2	1,8	2,2
1,4	2,9	3,2	3,0	3,2	2,9	3,2	3,1	3,2	3,0	3,2	2,8	2,9	2,9	3,0
1,6	3,8	4,2	3,8	3,8	4,2	4,2	3,8	4,1	3,8	3,8	4,0	4,0	4,0	4,1
1,8	5,2	5,2	5,1	5,1	5,2	5,1	5,2	5,2	5,0	4,9	5,2	5,2	4,9	4,9
2,0	5,9	6,0	5,8	6,1	5,8	5,9	6,2	6,1	6,1	5,8	6,0	5,8	6,1	5,9

2) Заданы значения функции в точках . Найти значение функции при . Задачу решить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.

10. Решить краевую задачу методом прогонки.

№	Дифференциальное уравнение	Краевые условия

11. Решить задачу Коши методом Эйлера и Рунге – Кутта.

№	Дифференциальное уравнение	Начальное условие

12. Решить системы нелинейных уравнений методом скорейшего спуска.

№

13. Решить задачу Коши модифицированными методами Эйлера.

№	Дифференциальное уравнение	Начальное условие		№

14. Найти собственные значения матрицы: .

	= 3;	= 7;		= 6;	= 7;
	= 5;	= 3;		= 6;	= -7;
	= 3;	= 8;		= 7;	= -5;
	= -3;	= 5;		= 5;	= 9;
	= 7;	= 6;		= 9;	= 3;
	= -3;	= -5;		= 8;	= 5;
	= 5;	= -8;		= -6;
⇐ Предыдущая12345678	Поделиться:

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США