Многомерные функции распределения.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Определение 6.1

Пусть в данном эксперименте определены случайные величины . Тогда каждому случайному событию можно поставить в соответствие n-мерный случайный вектор (кортеж)

,

который задаёт отображение пространства исходов в n-мерное действительное пространство (т. е. ) и для которого событие - пространству событий.

Примеры случайных векторов.

Пример 1. Координаты точки попадания относительно центра мишени (X, Y);

Пример 2. При проверке микросхемы – параметры задержки сигналов и их уровней по n различным выходам ;

Определение 6.2

Функцией распределения n-мерного случайного вектора X (функцией совместного распределения случайных величин ^{- NB}) называется неслучайная функция n действительных переменных в n-мерном евклидовом пространстве , определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств:

.

В частности для двухмерного случайного вектора (X, Y) имеем по определению:

F(x, y) = P {X<x, Y<y}.

В дальнейшем для компактности изображения будем оперировать только двумерными случайными величинами. Все полученные результаты могут быть распространены на любую размерность случайного вектора.

Свойства двумерной функции распределения F(x,y) случайного вектора (X,Y):

1) F(x, y) – неубывающая функция от x и y;

2) 0 ≤ F(x, y) ≤ 1;

3) F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0;

4) F(+∞, y) = F(y); F(x, +∞) = F(x), т. е. другая переменная может принимать любое значение от -∞ до +∞.

Это утверждение 4 устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения случайного вектора (X,Y) и функциями F(x) и F(y), которые называют одномерными (говорят также, частными или маргинальными) функциями распределения случайных величин X и Y.

5) F-(∞, ∞) = 1;

6) F(x, y) – непрерывна слева по x и y.

Вероятность попадания случайной точки на плоскость (X, Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат определяется как

(*)

(Близко к идее формулы включения – исключения)

Эта область А дважды вычитается в F(x₁, y₂) и F(x₂, y₁).

Определение 6.3

Вектор (X, Y) называется дискретным случайным вектором, если множество его возможных значений не более, чем счетное (может быть пронумеровано натуральными числами 1, 2, 3,…).

Перечень возможных значений пар (x_i, y_j) и соответствующей им вероятности определяет закон распределения двумерной СВ (X, Y).

F(x,y)=

Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 1)

Таблица 1

Сумма всех удовлетворяет условию

Одномерные законы распределения были получены из двухмерных

Сумма по строке:

Сумма по столбцу:

Определение 6.4.

Условным законом распределения X при условии, что Y – приняло определенное значение Y=y_j, называют совокупность x_i и соответствующих им условных вероятностей:

.

Определение 6.5

Вектор (X, Y) называется непрерывным случайным вектором, если F(x, y) непрерывна на R² и существует непрерывная неотрицательная функция f(x, y), называемая плотностью распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) такая, что

.

Функцию называют также совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y.

Свойства плотности распределения случайного вектора (X,Y).

Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотности распределения:

1) ;

2) - условие нормирования;

3) в точках непрерывности f(x,y);

4) ; - плотности распределения по отдельным компонентам (смотри 4-е свойство двумерной функции распределенияF(x,y)).

Вероятность попадания случайной точки в область D:

.

В частном случае, если D – прямоугольник, то смотри формулу (*)

.

Определение 6.6.

Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты X непрерывного случайного вектора (X, Y) при условии, что компонента Y приняла определенное значение y, причём f(y)≠0, называется неотрицательная действительная функция

формула умножения плотностей:

.

Определение 6.7

Случайные величины называют независимыми в совокупности, если для любых

В соответствии с определением функции совместного распределения случайных величин в их терминах для независимых случайных величин имеем:

.

Следствие.

Для независимых случайных величин:

.

В частном случае:

.

Для дискретных СВ при их независимости:

.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры