Уравнение гипергеометрического типа.

Рассмотрим уравнение: (1) - уравнение гипергеометрического вида, где - полиномы порядка , а - полиномы порядка .

Домножим (1) на , подобрав её так, чтобы уравнение (1) приняло самосопряжённый вид: . Для этого нужно, чтобы - дифференциальное уравнение для , тогда получим: (1*) - самосопряжённый вид уравнения (1). Определим : - весовые функции.

Это свойство одномерной задачи. Т.к. вид оператора отличается от . Самосопряжённая форма (*) большое ограничение.

b) Решение в виде полиномов. Формула Родрига.

Пусть - решение уравнения . Продифференцируем: . Обозначим , тогда . Производная решения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида. Далее можно повторить это действие, введя аналогичную замену: и т.д. Следовательно - решение различных уравнений гипергеометрического вида.

Определим коэффициенты и . Посмотрим, как они изменятся дальше. , .

Запишем: , дифференцируем: . . Найдем . Рассмотрим - сложим все эти разности и получим:

Таким образом: . Приведём (2) к самосопряжённому виду. (2) – уравнение для производных. (2*) , где - весовые функции.

Каждому целому можно указать такие значения , что . Т.е. , при таком выборе , уравнение приобретает новые качества: и новый вид . Тогда , положим эту константу равной нулю, тогда - многочлен степени . Таким образом, мы нашли бесконечную цепочку полиномов – решений уравнения при соответствующих значения . Это система - нормальная система полиномов образует базис. Вспомним , перепишем в виде: . Рассмотрим . Для воспользуемся при пока (т.е. пока можно делить) .

Запишем в чистом виде: - формула Родрига.

c) Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.

Эти полиномы ортогональны с весом на отрезке : . Где точки и это: 1) если - полином второго порядка, то и - это нули полинома , т.е. ; либо 2) если - полином первого порядка, то : и ; либо 3) если - полином нулевого порядка, т.е. , то и . Решения либо ограничены в особых точках, либо растут не быстрее полинома на бесконечности. Ортогональность следует из самосопряженности оператора , т.к. [ ].

Докажем. Запишем вторую формулу Грина: .

Теорема: Если - нормальная система полиномов на , то все нули принадлежат и они действительные и простые (значит, на происходит смен знаков (корни не кратные), ортогональность означает осцилляцию со сменой знака полное число раз).

Доказательство. Пусть теорема не верна.

Пусть имеет перемен знака: . Следовательно, если теорема не верна, то . Рассмотрим , т.к. система нормальная, то образует базис. Тогда - полином степени - это нормальная система. Рассмотрим (нормировка)

т.к. это интеграл от знакопостоянной функции.

Таким образом, получили противоречие, значит . Чтд.

Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов

a) Полиномы Лежандра.

1) Определим многочлены Лежандра так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Лежандра.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на отрезке существуют не тривиальные решения уравнения Лежандра , ограниченные при .

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Лежандра:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Лежандра: , полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой; второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при обращается в бесконечность при как .

5) Все нули полиномов Лежандра простые и расположены на интервале .

6) Ограниченность: полиномы Лежандра равномерно ограниченны для всех значений аргумента .

b) Полиномы Чебышева-Лягера.

1) Определим полиномы Чебышева-Лягера так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Чебышева-Лягера. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Лягера.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых в области существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Лягера , ограниченные при и возрастающие при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Лягера:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лягера: :, полиномы Чебышева-Лягера разных порядков ортогональны между собой с весом .

c) Чебышева-Эрмита.

1) Определим полиномы Чебышева-Эрмита так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Эрмита.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Эрмита , возрастающее при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Эрмита:

3) Рекуррентные соотношения: ;

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Эрмита: , полиномы Чебышева-Эрмита разных порядков ортогональны на с весом между собой.

d) Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.

	Лежандр	Чебышев - Лягер	Чебышев - Эрмит
Вид уравнения
Упрощенное уравнение
Собственные решения:
Собственные функции
Рекуррентные соотношения:
Производящие функции:
Ортогональность и норма:
Упрощенное уравнение гипергеометрического вида:
его самосопряжённый вид
Произвольное решение уравнения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида:	Пусть:
Собственные решения:
Собственные функции (Формула Родрига):
Ортогональность:
Присоединённые уравнение Лежандра:	Присоединённые функции: ,	Норма присоединённых функций:

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США