Зведення крайових задач до задач Коші

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Подамо крайову задачу із виразів (8.46) і (8.47) для диференціального рівняння m- го порядку у вигляді:

; (8.48)

, (8.49)

де L – диференціальний оператор, а a _ij, b _ij, g _j – сталі.

Задачу (8.48), з умовою (8.49) найпростіше звести до задачі Коші, якщо L – лінійний диференціальний оператор

У цьому випадку розв’язок шукають у вигляді

, (8.50)

де z_k (x) знаходять з (m + 1) задачі Коші

(8.51)

Після розв’язання задач Коші (8.51) на відрізку [0, l ], вираз (8.52) підставляють у вираз (8.49) і одержують СЛАР з m рівнянь відносно m невідомих c_k, . Розв’язавши СЛАР з (8.50), знаходять розв’язок задач (8.48) з умовою (8.49).

Наприклад:

Шукаємо розв’язок у вигляді

,

де – розв’язок неоднорідної задачі Коші з нульовими початковими умовами, а – розв’язки однорідних задач Коші з ненульовими початковими умовами відповідно до (8.51).

Із розв’язків задач Коші на відрізку [0, 1]

отримуємо . Далі знаходимо сталі c ₁ та c ₂.

З першої крайової умови маємо

.

З другої умови:

.

Якщо L – нелінійний диференціальний оператор, то для зведення крайової задачі до задачі Коші застосовують метод «стрільби». Для цього розв’язок y (x) шукають у вигляді

y = z (x),

де z (x) – розв’язок задачі Коші

; (8.52)

(8.53)

Значення z_i у початковій умові (8.52) підбирають такими, щоб задовольнити (8.49). У цьому випадку крайові умови (8.49) разом з (8.49) і (8.53) утворюють систему m нелінійних рівнянь щодо m невідомих . Останній розв’язок (8.52) і є розв’язком задачі (8.48) з умови (8.49).

Наприклад: Припустимо, що потрібно розв’язати задачу

за умов:

Можна застосувати такий ітераційний метод:

1) вибирати x, що апроксимує , тобто покласти

2) розв’язати задачу Коші:

3) якщо , де e – задана похибка, то покласти у противному випадку – змінити x (виконати ітерацію розв’язку нелінійного рівняння) і повернутися до пункту 2).

Метод скінчених різниць

Поширеним методом розв’язання крайових задач є метод скінчених різниць (МСР). В основі МСР лежить апроксимація похідних в операторі L (8.48) і в крайових умовах (8.49) скінченими різницями, а неперервної функції f (x) – сітковою функцією, визначеною у вуз­лах відрізка [0, l ]. Розглянемо найпростіший випадок, коли вузли сіткової функції – рівновіддалені. Для цього відрізок [0, l ] ділять на n ³ m +1 рівних відрізків вузлами x ₀ = 0, x ₁ = x ₀ + h, x ₂ = x ₀ + 2 h,…, x_n = x ₀ + nh. Розв’язання задачі (8.48) за (8.49) зводиться до визначення значень функцій у вузлах y_i = y (x_i).

Один зі способів різницевої апроксимації похідних побудований на диференціюванні інтерполяційних формул. Так, для одержання скінченнорізницевої апроксимації похідної будуємо інтерполяційний поліном Лагранжа , який проходить через k + 1 точку …, ,…, , .

Тоді

Похибка такої апроксимації оцінюється як ,

де

Як приклад знайдемо скінчено різницеву апроксимацію першої і другої похідних функції y (x) у точці x = x_i, побудовану в трьох точках. Побудуємо поліном Лагранжа, що проходить через точки (x_{i -1}, y_{i- 1}), (x_i, y_i), (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}):

.

Тоді

;

.

Похибкою цих апроксимацій є 0(h ²).

У методі скінчених різниць диференціальне рівняння (8.48) заміняється скінчено різницевими рівняннями, записаними для n – m + 1 внутрішнього вузла відрізка [0, l ]. Граничні умови (8.49) заміняються m скінчено різницевими рівняннями. У підсумку одержуємо СЛАР з n + 1 рівняння відносно n + 1 невідомих . Похибка розв’язку методом скінчених різниць відповідає найбільшій похибці апроксимації похідних у (8.48), (8.49).

Наприклад:

Точний розв’язок:

.

Поділимо відрізок [0, 1] на три рівні відрізки. Тоді .

Шукаємо

Використовуючи скінчено різницеву апроксимацію , запишемо скінчено різницеве рівняння для вузлів :

.

З крайових умов:

Одержимо систему чотирьох рівнянь стосовно чотирьох невідомих . Розв’язуючи її, одержимо:

Контрольні завдання

1. Вибрати задачі Коші відповідно до свого варіанта.

2. Розв’язати одновимірну задачу Коші методом Ейлера з похибкою не більше 5 %.

3. Розв’язати одновимірну задачу Коші методом Рунге – Кутта 4-го порядку з похибкою не більше 5 %.

4. Розв’язати одновимірну задачу Коші явним методом Адамса 4-го порядку з похибкою не більше 5 %.

5. Розв’язати одновимірну задачу Коші методом Гіра 4-го порядку з похибкою не більше 5 %.

6. Порівняти результати пп. 1 – 5.

7. Розв’язати систему ЗДР методом Ейлера. Оцінити похибку розв’язку.

Варіанти завдань

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология