Абсолютна та відносна похибки

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Нехай - точне число, а – наближене значення числа.

Похибкою наближеного числа називають різницю між точним числом та його наближеним значенням , тобто

Якщо , то ; якщо то .

Абсолютною похибкою наближеного числа називають абсолютну величину різниці між точним числом та його наближеним значенням :

(1.1)

Гранична абсолютна похибка ∆а наближеного числа - це додатне число, що перевищує абсолютну похибку, або дорівнює їй:

(1.2)

Звідси випливає, що точне число знаходиться в межах:

де - наближене значення числа за нестачею; - за надлишком.

Застосовують таку форму запису: .

Наприклад: Визначити абсолютну і граничну абсолютну похибку числа , взятого як наближене значення числа .

Розв’язок:

Абсолютну похибку ∆ знаходимо за формулою (1.1):

За межову абсолютну похибку з усіх чисел, що задовольняють нерівність (1.2).

Зазвичай вибирають якнайменше і найпростіше за записом.

У нашому прикладі за граничну абсолютну похибку можна взяти число і будь-яке найбільше число. У десятковому записі =0,0033…. Замінюючи це число більшим і простішим за записом, візьмемо: =0,004.

Відповідь: ∆= ; =0,004.

Відносною похибкою наближеного числа називають відношення абсолютної похибки цього числа до модуля відповідного точного числа , тобто

.

Оскільки точне число зазвичай невідомо, його замінюють наближеним числом. Тоді

Звідси , чи .

На практиці зазвичай мають справу з межовою відносною похибкою , яка є числом, що свідомо перевищує відносну похибку, або дорівнює їй:

.

Межову відносну похибку можна вважати такою, що дорівнює відношенню межової абсолютної похибки до модуля точного чи наближеного числа:

чи , (1.3)

Звідси , чи .

Відносна і межова відносна похибки не залежать від одиниць вимірювання відповідних величин і часто виражаються у відсотках.

Наприклад: Знайти межову відносну похибку вимірювання, якщо в результаті виміру отримаємо 0,88±0,005.

Розв’язок:

Для визначення межової відносної похибки δ_а скористаємося формулою (1.3).

;

.

Відповідь: .

Міра точності наближеного числа характеризується кількістю його правильних значущих цифр.

Значущими цифрами числа називаються усі цифри в його записі, починаючи з першої ненульової зліва.

Наприклад: числа 0,00 3064 і 0,00 306400 мають відповідно 4 і 6 значущих цифр (підкреслені цифри значущі).

Правильні значущі цифри у вузькому розумінні, якщо:

∆≤0,5·10^m-n+1, (1.4)

Правильні значущі цифри у широкому розумінні, якщо:

∆≤1·10^m-n+1, (1.5)

де ∆ ‑ абсолютна похибка числа.

10^m-n+1 – значення одиниці n-го десяткового розряду і визначається із запису:

,

де α_і (і=1,2,…,n…) – цифри числа а причому α_і≠0; m – деяке ціле число, яке дорівнює степеню числа 10 старшого розряду числа а.

За кількістю правильних значущих цифр наближеного числа можна визначити його межову відносну похибку:

(якщо цифри правильні у вузькому розумінні);

(якщо цифри правильні в широкому розумінні),

де - перша значуща цифра наближеного числа;

- кількість правильних значущих цифр.

Якщо відома межова відносна похибка наближеного числа , можна зробити висновок про кількість правильних цифр цього числа: кількість правильних цифр дорівнює, щонайменше , якщо - найбільше числове значення показника, за якого виконується нерівність:

.

Наприклад: Знайти правильні значущі цифри у вузькому та широкому розумінні числа .

Розв’язок:

В числі а=0,0 2345 є 4 значущі цифри. Запишемо число а у вигляді, скінченого десяткового дробу:

,

де m=-2, α=2.

Перевіримо дане число на виконання умов (1.4 і 1.5).

Тобто для цифри 4 числа а умова (1.4) виконується; отже, вона правильна у вузькому розумінні. Усі значущі цифри, що передують чотири. Теж правильні n=3 (2,3,4).

Згідно з (1.5) маємо:

тобто, які і в попередньому випадку, цифра 4 правильна в широкому розумінні. Отже, кількість правильних значущих цифр у широкому розумінні також дорівнює трьом (2,3,4).

Цифри що не є правильними – сумнівні. В даному випадку цифра 5 сумнівна.

Відповідь: Числа 2,3,4 правильні вузькому та широкому розумінні; число 5 сумнівне.

Наприклад: Знайти межову відносну похибку числа 0,82.

Розв’язання:

За умовою ; ; , тоді:

.

Відповідь: .

Наприклад: Визначити кількість правильних цифр наближеного числа , якщо відомо що воно має відносну похибку .

Розв’язок:

В даному випадку , , тоді виходячи з формули одержимо:

.

Відповідь: Найбільше значення , для якого виконується ця нерівність, дорівнює 1. Тоді кількість правильних цифр .

У разі округлення наближеного числа одержимо нове наближене число :

, (1.6)

де ∆а – межова абсолютна похибка; ∆окр. ‑ похибка округлення.

Наприклад: Маса наважки знайдена на аналітичних вагах, дорівнює 0,6794±0,0002г.

Округлити сумнівні цифри отриманого результату і визначити його межову абсолютну похибку.

Розв’язок:

Наближене число а=0,6794 має три правильні цифри у вузькому розумінні: 6,7,9, тому що ∆а=0,2∙10^-3<0,5∙10^-3. Застосовуючи округлення, знайдемо наближене значення а₁=0,679.

Тоді згідно (1.6), ∆а₁=0,0002+0,0004=0,0006.

Відповідь: а₁=0,679±0,0006.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров