Обработка результатов измерений случайной величины

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 46Следующая ⇒

Характеристики случайной величины

Если случайная величина X может принимать в результате повторяющихся экспериментов дискретные значения x₁, x₂, …, x_n, то отношение числа экспериментов m, в результате которых сдучайная величина X приняла значение x_i, к общему числу n произведенных опытов называется относительной частотой m/n появления события X= x_i. Относительная частота зависит от количества произведенных опытов и при их увеличении она стермиться к некоторой постоянной величине p_i, называемой вероятностю события X= x_i:

(3.2)

Если событие достоверно и оно обязательно должно произойти, то его вероятность равна единице. Вероятность события, которое не произойдет никогда, равна нулю. Поэтому вероятность случайного события находится в пределах 0≤ P ≤1. В результате опыта случайная величина обязательно примет одно из своих значений, а общая сумма вероятностей для всего эксперимента

(3.3)

Эта суммарная вероятность распределена некоторым образом между отдельными значениями x₁, x₂, …, x_n:

Соотношение связи между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины.

Распределение непрерывной случайной величины, принимающей любое значение внутри некоторого интервала, недьзя задать с помощью вероятностей отдельных значений. Поэтому для непрерывных случайных величин рассматривается вероятность того, что случайная величина принимает значения меньшие некоторого заданного вещественного числа x. Эта вероятность является функцией от x:

(3.4)

и называется функцией распределения случайной величины. При предельных значениях аргумента x значения функции распределения будут F (-∞)=0 и F (+∞)=1.

Широко применяются нормальная и показательная функции распределения.

Нормальное распределение имеет два параметра – среднеквадратическое отклонение σ_x переменной x и ее математическое ожидание m_x:

(3.5)

Показательное распределение имеет один параметр- 𝜆:

(3.6)

Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции плотности

распределения случайной величины f(x) как производной от функции распределения

(3.7)

Нормальная и показательная функции плотности распределения имеют вид:

(3.8)

По известной плотности распределения функция распределения находится по следующей формуле:

(3.9)

Для дискретных случайных величин вводится функция распределения дискретной случайной величины, определяемой соотношением

(3.10)

Функция распределения в этом случае представляет собой разрывную ступенчатую зависимость.

Случайные величины часто определяют с помощью следующих числовых характеристик, выражающих особенности сучайных величин.

Математическое ожидание m_x случайной величины характеризует центр рассеяния случайной величины и определяется выражениями соответственно для дискретной и непрерывной случайных величин:

(3.11)

где M - символ математического ожидания случайной величины X.

Дисперсия D _x = σ²_x характеризует разброс значений случайной величины относительно ее центра (математического ожидания m_x)

(3.12)

где M - символ математического ожидания случайной величины (X- m_x)².

Для дискретных случайных величин дисперсия определяется следующим образом

(3.13)

а непрерывных- по формуле:

(3.14)

Оценка параметров распределения случайной величины

При изучении закона распределения случайной величины о характере распределения судят по значениям, принимаемым случайной величиной. Совокупность опытов при бесконечном их числе представляет собой генеральную совокупность значений случайной величины, а совокупность значений случайной величины при любом конечном числе n опытов- выборка объема n из генеральной совокупности. Любая выборка должна давать достаточное представление о генеральной совокупности, т.е. быть представительной или репрезентативной.

Суждение о генеральной совокупности также является случайным. Функция распределения для выборки объемом n называется эмпирической функцией распределениея. Она определяется соотношением для дискретных случайных величин:

(3.15)

где x - некторое значение случайной величины; n_x - число выборочных значений этой выборки, меньших x.

Относительное попадание случайной величины в i -ый интервал

(3.16)

Случайный характер выборки определяет и случайный характер значений параметров функции распределения, которые служат случайными оценками истинных значений параметров распределений. Эти значения как правило не известны.

Различают точечные и интервальные статистические оценки.

Точечной оценкой называется статистическая оценка, определяемая одним числом. К точечным оценкам предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка является состоятельной, если при увеличении объема выборки n она стремиться к оцениваемому параметру- его истинному значению (математическому ожиданию и дисперсии). Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно ее истинному значению. Оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна.

Понятие интервальной оценки связано с понятием доверительной вероятности и доверительного интервала.

Доверительной вероятностью β называется вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра θ заключено в интервале

(3.17)

Границы этого интервала и называются доверительными границами, а сам интервал- доверительным интервалом. Для определения границ доверительного интервала необходимо найти точечную оценку параметра θ и точность этой оценки ε_β- разброс оценки вокруг его истинного значения.

Точность оценки зависит от закона распределения случайной величины, числовой характеристикой которого служит параметр θ, и заданной доверительной вероятности β, которая характеризует надежность оценки θ и определяет величину доверительного интервала. Чем больше значение β, тем больше должног быть значение этого интервала, т.е. больше ε_β и меньше точность оценки, а чем меньше надежность β для оценки , тем уже доверительный интервал и больше точность оценки. Для практических целей обычно принимают β раной 0.9, 0.95, 0.99. Вместо β можно использовать уровень значимости p = 1- β, который определяет вероятность того, что истинное значение не попадет в доверительный интервал.

Функции распределения случайных величин

Рассмотрим несколько функций распределения, имеющих важное практическое значение.

Равномерный непрерывный закон распределения на интервале [ a,b ]. В этом случае все значения непрерывной случайной величины равновероятны, функция плотностей вероятности которого равна, рис.3.1:

(3.18)

Это распределение широко применяют в теории надежности систем, теории массового обслуживания.

Рис.3.1. Равномерный непрерывный закон распределения случайной величины в интервале [ a,b ] (a = 2, b = 5): f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x) - функция распределения.

Распределение по закону арккосинуса – закон распределения мгновенных значений синусоиды со случайной фазой, рис.3.2:

, (3.19)

где a - амплитуда гармонических колебаний.

Рис.3.2- Распределение случайной величины по закону арккосинуса: f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x) - функция распределения.

Этот закон может быть применен для случайных величин, изменяющихся по циклическим законам, например, изменение температуры по годам, солнечной радиации и т.д.

Экспоненциальное распределение - закон распределения, имеющий функцию плотности вероятностей, рис.3.3:

, (3.20)

где m - математическое ожидание случайной величины X.

Распределение Вейбулла – закон распределения, имеющий функцию плотности вероятностей

(3.21)

Этот закон используется для аппроксимации распределений случайных величин широкого класса задач, имеющих различные параметры α и β.

Распределение Гаусса или нормальный закон распределения случайной величины, характеризуется плотностью вероятностей, рис.3.4:

, (3.22)

где σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины; m₁ – математическое ожидание случайной величины.

Вероятность попадания случайной величины в интервал [ a,b ] определяется выражением

_, (3.23)

где:

- функция Лапласа или интеграл вероятностей, значения которого протабулированы или имеются в программном обеспечении компьютера; t- табличная случайная величина, табулированная по нормальному закону.

Рис.3.3. Экспоненциальный закон распределения: f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x) - функция распределения.

Распределение, близкое к нормальному, имеют много разных по своей природе случайных величин, например тепловые шумы, размеров и масс зерна, плодов, овощей. Как правило, это распределение является результатом действия на случайную величину

Рис.3.4. Нормальный закон распределения: f(x)- плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x)- функция распределения.

множества других случайных величин. Нормальное распределение является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей - закон распределения суммы независимых случайных величин переменных (X₁, X₂ , …, X_n), имеющих одинаковые распределения, приближается к гауссовому при неограниченном увеличении числа слагаемых независимо от закона их распределения.

Она широко используется для описания и понимания функционирования реальных систем. Для дискретных случайных величин применяют равномерный дискретный закон распределения, согласно которому все значения дискретной случайной величины равновероятны:

. (3.24)

Распределение Пуассона - закон распределения дискретных величин, рис.3.5., определяющий вероятность появления события k раз за время t, если считать, что вероятность наступления события на протяжении интервала Δt пропорциональна этому интервалу, а события в различные моменты времени независимы:

, (3.25)

где λ = n * P; n - число опытов; P - вероятность появления события в каждом опыте. Закону Пуассона отвечают, например, распределение телефонных вызовов за время t.

Проверка гипотез о законе распределения характеристик проводится аналогично как для входных случайных величин так и для выходных. Для этого статистические данные группируются по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали весь диапазон изменения исследуемого фактора у, длины интервалов были равны, а количество данных в каждом интервале - достаточно большим (во всяком случае, не мёнее пяти). Для каждого интервала (y_j - y_{j -1}) подсчитывается число m_j результатов измерений, попавших в этот интервал, после чего переходят к вычислению относительных частот h_j попадания измеряемого параметра в интервал по формуле

, (3. 26)

где .

Cельскохозяйственные объекты имеют большую вариабельность параметров, поэтому количество необходимых измерений может быть большим- 30 и более.

Построение полученного экспериментального распределения относительных частот позволяет подобрать на компьютере с помощью пакета статистической обработки информации наиболее близкий к нему по форме теоретический закон распределения, после чего определяются числовые значения параметров аппроксимирующей функции - теоретического закона распределения.

Гиперболическое H-распределение.

Для математического моделирования в сложных системах со слабообусловленными связами (ценозах) применяют ранговое гиперболическое распределение. Гиперболическое ранговое H -распределение математически описывается формулой:

, (3.27)

где W ₁ – фактическое (W ₀ – теоретическое) значение первой точки (ранга) в абсолютных величинах; r – ранг; b – характеристический показатель.

Ранг – номер по порядку при расположении данных в порядке снижения их величины- ранжированных по убыванию. Например, для вариационного ряда- значений электропотребления объекта P(M) в течение года по месяцам M, приведенного в таблице 3.2, ранжированные значения P(R) приведены в таблице 3.3. Ранг R = 1, 2, …, 12 этого вариационного ряда определяет место электропотребления P в новом вариационном ряду.

Таблица 3.2 - Значения электропотребления объекта: верхняя строка- месяцы; нижняя строка- электропотребление, кВт*ч.

На рисунке 3.6 показано ранговое H - распределение P(H) вариационного ряда P(M) годового электропотребления предприятия. Для данного примера W₁ = 314,9 * 10³ кВт*ч; β = 1,357. В некоторых случаях, например при описании электропотребления техноценозов, величины W и β могут использоваться для прогнозирования.

Таблица 3.3 - Ранжированные значения электропотребления объекта: верхняя строка- ранг; нижняя строка- электропотребление, кВт*ч.

Рис.3.5. Дискретный закон распределения случайной величины по закону Пуассона: а) - плотность распределения вероятностей f(x); б)- функция распределения F(x).

Рисунок 3.6- График рангового параметрического распределения значений электропотребления: P – электропотребление, кВт*ч.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов