Понятие устойчивости по Ляпунову и ассимптотической устойчивости. Сведение исследования устойчивости решения к исследованию устойчивости нулевого решения.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

Реш.задачи Коши: y= (t)

(1) =F(t,y) (2) y(t0)=y0

Теория устойчивости Ляпунова

Обозначим: y=y(t,y0) - реш.задачи Коши (1)-(2)

=F(t,y(t,y0)); y(t0,y0)=y0

(1) =F(t,y) (2*)y(t0)=y0

Решение задачи (1),(2*): y(t)=y(t,y0)

Определение: Решение задачи (1),(2*) называется устойчивым по Ляпунову, если выполняется условие:

1) задача Коши имеет единственное решение y=y(t,y0) опред на [t0:+ ]

2)

Определение: решение y=y(t,y0*) задачи (1),(2*) называется асимптотически устойчивым если:

1.оно устойчиво по Ляпунову

2.

Решение y(t,y0*) неустойчиво, если:

1.выполняется

2.

(t-время)

*для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым.

Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы.

Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1)

Сделаем замену в задаче (1),(2)

y=y(t,y0)

решение (1),(2*) т.е

y(t0,y0*)=y0*, y(t)=x(t)+y(t,y0*)

x(t) y(t)=y(t,y0*),

Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*)))

Приведенная задача:

(1’)

(2’)

y(t,y0) – устойчивость(асимптотическая устойчивость) решения x задачи (1’),(2’)

Устойчивость системы ЛДУ. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы.

(3)

A(t)=|| (t)| C[

В этом случае задача Коши имеет единственное решение, определенный на [

Теорема 1. Решение задачи Коши (3), устойчиво (ассимтотически устойчиво), если нулевое решение приведенной однородной системы ЛДУ:

Док-во: обозначим: где решение (3),

[А(t) + -[A(t) =

=A(t)[ =

Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение.

Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой.

= - устойчиво, если

Замечание. 1) вектор-функция назывется ограниченной на множестве , если такое, что

2) =

является ограниченной на в том и только в том случае, когда ограниченна на функция

3)Если || , то i=1,…,n : |x(t)| || M

Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без

Теорема об устойчивости системы ЛДУ с постоянными коэффицентами.

(5) = A=|| | ;

Все решения системы определены на всей числовой оси

Рассмотрим характеристическое уравнение системы: det(A-λE)=0; , -корни характеристического уравнения.

Теорема 3. 1) если все корни характеристического уравнения системы (5) = 0

Имеют отрицательные действительные части

(т.е. , то система асимптотически устойчива. 2) если хотя бы 1 корень характеристического уравнения с положительной действительной частью (т.е. к: , то система (5) неусточива

Замечание. 1) Если <0, n N, R, то функции:

, , ограничены на [0,+ и

= =0;

2)Если то многочлена степени n функции: , , - ограниченны на [0,+ =0; 3) Если то функции , , и

- неограниченны на [0,+

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности