Интегрирование первых трех простейших рациональных дробей.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

1)

2)

3) , где

4) б выделяют полный квадрат в знаменателе переменная , далее считается и используется рекуррентная формула.

Общее правило интегрирования рациональных дробей

1) Представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби

2) Разложить знаменатель рациональной дроби на множители и представить рац. дроби в виде суммы простейших рац. дробей, воспользовавшись методом неопределенного коэфф.

3) Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей

24. Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка, три основные подстановки. Интегралы вида ,

Универсальная тригонометрическая подстановка

(1), где R – рац. функция относительно sin x и cos x.

Общий способ вычисления интеграла (1): универсальная тригонометрическая подстановка, которая приводит к результату, хотя иногда вычисления такого интеграла очень громоздки, на практике применяют более простые подстановки в зависимости от вида и свойств подынтегральной функции: (2)

Случаи:

1) Пусть функция R(cos x, sin x) – нечетные относительно sin x, т.е. R(cos x,-sin x)=-R(cos x, sin x), тогда используется подстановка cos x = t

2) Пусть функция R(cos x, sin x) – нечетная относительно cos x, R(-cos x, sin x)=-R(cos x, sin x), тогда используется подстановка sin x=t

3) Функция R(cos x, sin x) – четная, относительно cos x, sin x, т.е. R(-cos x, -sin x), тогда используется подстановка tg x=t

Замечания:

1) Эта же подстановка используется для этого интеграла

2) В третьем случае применяется так же подстановка cox 2x=t

Интегралы вида

Рассмотрим ,

Используются правила

1. Пусть , явл. нечетным →тогда исп. подстановка sin x = b

2. Пусть явл. нечетным →тогда исп. подстановка cos x = t

3. Пусть явл. четной →тогда исп. подстановка формулы понижения степени ;

4. Пусть , четные →исп. Подстановка tg x=t

Замечания: при интегрировании триг. функций исп. И триног. Преобразования

Например: , ,

25. Интегрирование иррациональных функций (4 вида). Интегрирование дифференциального бинома. Не берущиеся интегралы.

Интегрирование иррациональных функций

1)

2)

3) подстановка соответтв: x=asin t, x=a tg t,

4)

Интегрирование дифференциального бинома

(1)

При вычислении интеграла (1) используется теорема Чебышева П.А.: дифференциальный бином интегрируется лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел , при этом используются следующие подстановки:

1) Пусть где k – наим. общ. кратное знаменателей дробей m,n.

2) Пусть ⇒ a+b∙xⁿ=t^S, S – знаменатель p

3) Пусть ⇒ a+b∙xⁿ=xⁿt^S

Если не выполняется ни одно из условий, то интеграл (1) не вычисляется

Замечания: операции дифф. приводит элементарные функции к элементарным. В то время, как операции интегрирования не всегда приводят к элементарным функциям. Таким образом различают не берущиеся интегралы

К ним относятся:

1) Интеграл Пуарсона: (теория вероятности)

2) Интеграл Френеля:

3) Интегральный логарифм (теория чисел)

4) Интегральный синус

5) Интегральный косинус

6) Интеграл показательной функции

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии