Движение заряженных частиц в электростатическом поле

; ; ; .

Рис. 31

Так как потенциал сферы , то сфера имеет отрицательный заряд. При движении электрона (его заряд также отрицательный) к одноименно заряженной сфере на него действует сила отталкивания (рис. 31); следовательно, движение электрона будет замедленным. Движение электрона к сфере продолжится до тех пор, когда его скорость, уменьшаясь, станет равной нулю в точке 2 на расстоянии от поверхности сферы, равном : , следовательно, и кинетическая энергия электрона в этой точке .

Благодаря тому, что силы электростатического поля являются консервативными, выполняется закон сохранения энергии – энергия электрона остается постоянной в любой точке ЭСП:

(1)

Здесь потенциальная энергия , где – заряд электрона; – потенциал поля сферы в той точке, где находится электрон.

Определим потенциал поля заряженной сферы, используя формулу связи потенциала ЭСП с его напряженностью:

. (2)

Здесь проекция на радиальное направление вектора напряженности поля вне сферы (см. рис. 31). Величина напряженности поля сферы, найденная с помощью теоремы Гаусса: , где – коэффициент пропорциональности в законе Кулона; – заряд сферы; – расстояние от центра сферы до точки, в которой вычисляем значение .

Найдем функцию по ее дифференциалу (см. формулу (2)); для этого вычислим неопределенный интеграл:

. (3)

Константу интегрирования определим, принимая за нуль потенциал на бесконечно большом расстоянии от сферы: . В соответствии с уравнением (3) запишем:

.
Тогда потенциал поля, созданного заряженной сферой, на расстоянии от ее центра

. (4)

Соответственно, потенциальная энергия электрона в ЭСП, созданном сферой

. (5)

Заряд сферы найдем по формуле (4), используя заданный в условии задачи потенциал сферы:

(6)

Подставляя это выражение в формулу (5), получаем величину потенциальной энергии

(7)

Вернемся к уравнению (1) закона сохранения энергии и приравняем энергию частицы в двух точках – 1 и 2 (см. рис. 31):

, (8)

где – энергия электрона на бесконечно большом расстоянии от сферы; – энергия электрона на минимальном расстоянии от поверхности сферы, равном . Подставим в уравнение (8) величины кинетической и потенциальной энергии электрона в точках 1 и 2:

,

или . (9)

Таким образом, уравнение ЗСЭ (9) отражает тот факт, что, по мере приближения электрона к одноименно заряженной сфере, его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию взаимодействия электрона с полем сферы. Заметим, что, после остановки электрона на мгновение в точке 2 (на минимальном расстоянии от поверхности сферы), он вновь начнет движение, ускоряясь силой отталкивания и удаляясь от сферы в радиальном направлении; при этом потенциальная энергия электрона будет уменьшаться, а кинетическая – возрастать, в соответствии с законом сохранения энергии (1).

Выразим искомое расстояние из уравнения ЗСЭ (9):

.

Вычислим расстояние электрона от поверхности сферы:

.

Таким образом, скорость движения электрона к заряженной сфере в условиях данной задачи уменьшается до нуля на расстоянии от поверхности сферы.

Задача 16. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе расстояние от одной пластины до другой, приобрел скорость . Найдите 1) разность потенциалов между пластинами и напряженность поля конденсатора, 2) поверхностную плотность заряда на пластинах.

Дано Решение

; ; ; 1) 2)

а б Рис. 32

1) Линии напряженности электростатического поля плоского конденсатора перпендикулярны заряженным пластинам. Электрон, ускоряясь силой , действующей на него со стороны ЭСП (, при движении от точки 1 вблизи отрицательно заряженной пластины до точки 2 на положительно заряженной пластине, приобрел кинетическую энергию . Так как силы электростатического поля консервативные, то выполняется закон сохранения энергии электрона в следующем виде:

(1)

где и – кинетическая энергия электрона в точках 1 и 2 (рис. 32 а), и – потенциальная энергия электрона в тех же точках поля конденсатора. Потенциальная энергия заряженной частицы (электрона) в ЭСП описывается формулой:

, (2)

где – заряд частицы, – потенциал той точки поля, в которой находится заряженная частица.

Подставим величины кинетической и потенциальной энергии в уравнение (1) ЗСЭ:

.

Перепишем это уравнение с учетом того, что начальная скорость электрона , а разность потенциалов :

(3)

Из уравнения (3) определим разность потенциалов между пластинами

(4)

где – удельный заряд электрона.

Вычислим разность потенциалов

Определим напряженность ЭСП конденсатора, учитывая, что это поле однородное и его напряженность, как градиент потенциала, определяется следующей формулой:

(5)

где – модуль вектора напряженности; – разность потенциалов между пластинами конденсатора; – расстояние между пластинами.

Вычисляем .

2) Поверхностная плотность зарядов на пластинах конденсатора определяет величину напряженности поля; установим связь величин и . Напряженность ЭСП внутри плоского конденсатора, в соответствии с принципом суперпозиции, равна сумме векторов напряженности полей первой и второй пластин (рис. 32 б):

(6)

где вектор , а модуль напряженности полей, созданных первой и второй пластинами конденсатора, определяется формулами, полученными с помощью теоремы Гаусса:

(7)

Так как заряды и поверхностные плотности зарядов пластин конденсатора одинаковы: и , то, согласно формулам (7), одинаковы и напряженности полей: . Тогда, по принципу суперпозиции (6), модуль напряженности ЭСП в плоском конденсаторе

(8)

Из этого выражения получаем расчетную формулу поверхностной плотности заряда на пластинах конденсатора и вычисляем значение :

.

Задача 17. Электростатическое поле создано бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью заряда . Определите кинетическую энергию электрона в точке 2, если в точке 1 его кинетическая энергия . Расстояния, задающие положения точек 1 и 2 в ЭСП, показаны на рис. 33 а.

Дано Решение

; электрон: ; ;

а б Рис. 33

Электростатическое поле, созданное заряженной нитью, имеет радиально направленные силовые линии (рис. 33 б) и имеет осевую симметрию (ось симметрии поля – заряженная нить). Напряженность такого поля в точке на расстоянии от нити, вычисленная с помощью теоремы Гаусса, определяется формулой

. (1)

Движение электрона из точки 1 в точку 2 по направлению к положительно заряженной нити будет ускоренным; оно происходит под действием силы : . Эта сила будет возрастать по мере движения электрона вследствие уменьшения расстояния от нити. Описание движения частицы под действием переменной силы потребует составления и решения закона динамики движения в дифференциальной форме с последующим интегрированием, что является непростой задачей.

Существует рациональный путь решения задачи с помощью закона сохранения энергии, который выполняется благодаря консервативности сил электростатического поля. Запишем формулировку ЗСЭ:

, (2)

где и – кинетическая и потенциальная энергии электрона в точке 1 (см. рис. 33 б); и – те же величины в точке 2 ЭСП конденсатора.

Из уравнения (2) выразим определяемую величину кинетической энергии электрона

(3)

Потенциальная энергия частицы с зарядом в точке поля, имеющей потенциал , описывается следующей формулой:

(4)

С учетом формулы (4) расчетная формула (3) преобразуется к виду:

(5)

Вычислим разность потенциалов ( в ЭСП, созданном заряженной нитью. Для этой цели используем формулу связи между напряженностью и потенциалом в виде :

. (6)

Подставим полученную разность потенциалов в выражение (5), которое при этом преобразуется к следующему виду:

По полученной расчетной формуле вычислим кинетическую энергию электрона в точке 2, выражая начальную энергию электрона в джоулях ():

.