Понятие о точечных оценках параметров и их свойствах

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Выше была рассмотрена задача нахождения закона распределения СВ (ряда, функции или плотности распределения СВ) по результатам её измерений. Однако на практике часто встречаются ситуации, когда вид закона распределения уже известен и требуется найти только параметры, от которых он зависит. В частности, для нормального закона задача сводится к нахождению параметров m и s, для закона Пуассона – параметра l. В некоторых задачах вообще не требуется знать вид закона распределения СВ, а требуется найти только её числовые характеристики, например, математическое ожидание и дисперсию.

Пусть закон распределения СВ Х зависит от некоторого параметра q, значение которого неизвестно (под параметрами будут пониматься также числовые характеристики), а – случайная выборка из генеральной совокупности Х. Тогда приближённое значение параметра q определяется как значение некоторой функции . Функция называется точечной оценкой параметра q и является случайной величиной, т.к. её значение зависит от значений СВ .

Числовое значение точечной оценки параметра q, вычисленное по данным выборки , называется реализацией соответствующей оценки. Для того чтобы реализацию оценки можно было считать приемлемым приближением к значению параметра, эта оценка должна обладать определёнными свойствами.

Оценка параметра q называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объёма случайной выборки она сходится по вероятности к точному значению параметра, т.е. для любого имеет место

.

Требование состоятельности является обязательным для любой точечной оценки, применяемой на практике.

Оценка параметра q называется несмещённой, если при любом фиксированном объёме случайной выборки имеет место , т.е. среднее значение оценки совпадает с точным значением параметра. В противном случае оценка называется смещённой.

Несмещённая оценка параметра q называется эффективной, если при любом фиксированном объёме случайной выборки она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещённых оценок этого параметра.

Точечные оценки, используемые на практике, не всегда являются несмещёнными и эффективными. Например, может оказаться, что эффективная оценка существует, но формула для её вычисления очень сложна, и тогда приходится использовать другую несмещённую оценку, дисперсия которой несколько больше. Иногда с целью простоты расчётов применяются незначительно смещённые оценки.

Оценка параметра q называется асимптотически несмещённой, если . Несмещённая оценка называется асимптотически эффективной, если , где – эффективная оценка.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте