Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и однородных уравнений первого порядка

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 12Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь разделять переменные, сводить однородное дифференциальное уравнение первого порядка к уравнению с разделяющимися переменными; находить частное решение дифференциального уравнения.

Пояснения к работе

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют дифференциальное уравнение первого порядка вида .

Если перейти к дифференциалам (), то это уравнение примет вид . Умножив обе части уравнения на dx, получим уравнение . Если разделить последнее уравнение на , то получим уравнение с разделенными переменными , проинтегрировав которое получим общий интеграл .

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: перейдем в данном уравнении к дифференциалам . Перенесем слагаемое х в правую часть уравнения . Умножим обе части уравнения на dx, получим уравнение с разделенными переменными . Проинтегрируем обе части уравнения . Найдем интегралы: . Если обозначить , то получим уравнение . Умножив обе части на 2, получим общее решение . Ответ: .

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение (ДУ) вида .

Это уравнение приводят к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, выполнив следующую замену или . Тогда и, после подстановки в исходное уравнение полученных выражений, уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные ; . Интегрируя, получим общий интеграл относительно переменных и . Затем необходимо вернуться к прежним переменным.

Например, найти общее решение ДУ: . Обозначим или . Тогда и уравнение примет вид ; ; . Интегрируя, получим ; ; . Вернёмся к прежним переменным . Ответ: .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 3 при x = 2.

Вариант 2

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 2 при х =1.

Вариант 3

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 2 при х = 1.

Вариант 4

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 3 при x = 2.

Вариант 5

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 0 при x = 1.

Вариант 6

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 0 при x = 0.

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Каков алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

2. Каков алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений?

3. Что является решением дифференциального решения?

4. Как находят частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и однородного дифференциального уравнения первого порядка?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 243 – 245

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 160 – 167.

Практическое занятие № 8

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности