Математические модели элементов

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 6Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

ГЛАВА 3

Математические модели элементов

Электрических цепей

Любая электрическая цепь состоит из отдельных элементов, в которых при протекании электрического тока происходят достаточно сложные энергетические явления, связанные с преобразованием электрической энергии. Для упрощения описания процессов, происходящих в реальных элементах, их считают идеальными, т.е. предполагают, что каждый элемент обладает лишь одним каким-либо свойством: либо поглощать электрическую энергию - пассивные элементы, либо накапливать ее – реактивные элементы, либо создавать – активные элементы.

Классификация элементов электрических цепей

1. Элементы электрических цепей

2. Пассивные

3. Активные

4. Сопротивление

5. Емкость

6. Индуктивность

7. Взаимно-индуктивная цепь

8. Источник тока

9. Источник ЭДС

3.2. Способы описания свойств элементов электрических цепей

Рассмотрим подробнее свойства идеальных элементов электрических цепей.

Сопротивление

Сопротивление – идеальный элемент, которому свойственно только поглощение электрической энергии с преобразованием ее в тепловую, механическую или другую форму.

Условное обозначение приведено на рис..

1. Электрическая характеристика участка обладающего сопротивлением R имеет вид

Для участка цепи обладающего сопротивлением при протекании тока на его выводах возникает напряжение которое прямопропорцианально току. Эта характеристика называется – вольтамперной.

2. Параметром сопротивления является величина, которая называется сопротивлением и обозначается .

Единица измерения сопротивления – Ом [Ом]. Часто применяют кратные единицы: 10³Ом =1кОм (килоОм), 10⁶ Ом =1МОм (мегаОм), 10⁹ Ом= 1 ГОм (гигаОм). Иногда вместо сопротивления пользуются параметром, который называется проводимость – G=1/R. Единица измерения проводимости – Сименс [См].

3. Закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений на участке цепи обладающего сопротивлением:

4. Закон Ома в комплексной форме устанавливает связь между комплексными амплитудами напряжения и тока ( и ) на элементе. Он записывается: в виде уравнения = , где - комплексная величина, она называется комплексным сопротивлением элемента

Установим эти соотношения (закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление) для участка цепи, обладающего сопротивлением.

Считаем, что , отсюда .

Из закона Ома для мгновенных значений следует, что

, отсюда .

Тогда закон Ома в комплексной форме для сопротивления имеет вид

= , ().

Отсюда получим выражение для комплексного сопротивление сопротивления - . Из последнего следует:

а) комплексное сопротивление сопротивления не зависит от частоты;

б) φ_u=φ_i, т.е. между напряжением и током сдвиг по фазе равен 0.

Пусть, например, ток через сопротивление R=2Ом равен i(t)=1cos(2π1000t+ π/3) [А]. Тогда его комплексная амплитуда равна I_m=1e^jπ/3А, а комплексную амплитуду напряжения на сопротивлении расcчитаем по формуле () - U_m=2e^jπ/3 [B]. При необходимости можно записать и выражение для мгновенного напряжения на сопротивлении – u(t)=2cos(2π1000t+ π/3) [В].

5 Мгновенная мощность на элементе:

, т.е. сопротивление поглощает электрическую энергию.

6. Активная мощность на элементе: ,

здесь cosφ=0, Ps -полная мощность.

7. Реактивная мощность на элементе: , т. к. sinφ=0.

8. Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к сопротивлению, является резистор. Он представляет собой объем проводника (рис.) с высоким удельным сопротивлением ρ. Его параметром является сопротивление. Оно рассчитывается по формуле:

,

где ρ- удельное сопротивление проводника, т.е. сопротивление проводника с единичными по длине гранями, l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения.

Емкость

Емкость-это идеальный элемент, который накапливает энергию в виде связанного с напряжением электрического поля.

Условное обозначение приведено на рис..:

1. Электрическая характеристика емкости q=f(u) характеризуется зависимостью накопленного заряда q от приложенного напряжения u, в линейном случае эта зависимость имеет вид .

Эта характеристика называется кулон-вольтная характеристика.

2. Параметр емкости называют емкостью. Он определяется из соотношения:

или с=dq/dt [Ф]

т.е. емкость есть заряд (C =q) на емкости, если U= 1.

Единица измерения емкости – Фарада [Ф]. Часто пользуются единицами, которые составляют доли от Фарады: 10^-3Ф =1mФ (миллиФ); 10^-6Ф =1μкФ (микроФ); 10^-9Ф =1нФ (нанаФ); 10^-12Ф =1рФ (пикаФ).

3. Закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения.

Разрешим это уравнение относительно u_c(t), считая что при t=0 ток мгновенно изменяет свое значение:

, отсюда при t=+0, получим, что

,

где - напряжение на емкости до скачка тока через емкость; - напряжение на емкости сразу после скачка тока.

Это соотношение называется законом коммутации для емкости, т.е. при скачкообразном изменении тока через емкость напряжение на емкости мгновенно измениться не может, оно изменяется непрерывно.

4. Закон Ома в комплексной форме для емкости.

Считаем, что

, отсюда .

Определим ток, используя закон Ома для мгновенных значений:

, отсюда

=jωCU_me^-jφ,

здесь учтено, что +j .

Из записанного следует, что закон Ома в комплексной форме для емкости:

, или ,

а комплексное сопротивление емкости

.

Из последнего выражения следует:

а) =Х_с- модуль сопротивления емкости зависит от частоты (рис.). Емкость имеет бесконечно большое сопротивления для постоянного тока (ω=0).

б) Ток опережает напряжение на 90⁰, или напряжение отстает от тока на 90˚, т.е. j = j_u - j_i= -90⁰. Это следует из соотношения: =е^-j90˚.

Пусть напряжение на емкости равно u(t)=10cos(2π1000t+ π/6)В. Комплексная амплитуда этого напряжения имеет вид U_m=10e^jπ/6B. При емкости С=1мкФ комплексное сопротивление емкости равно Z_c =(j2π1000)^-1. По закону Ома в комплексной форме для емкости найдем комплексную амплитуду тока через емкость: Im= 2π10^-2 A, а затем и выражение для мгновенного тока i(t)= 2π10^-2 cos(2π1000t+ π/6)В.

5.Мгновенная мощность:

Если , то емкость накапливает электрическую энергию, забирая ее от источника сигнала, напряжение на емкости возрастает, говорят, что емкость заряжается.

Если , то емкость возвращает энергию в цепь, т.е. сама является как бы источником энергии, которую накопила, напряжение при этом на емкости уменьшается, говорят - емкость разряжается. Отсюда и называют емкость реактивным элементом.

6. Активная мощность: , т.к. φ= - 90⁰.

7. Реактивная мощность: , где Ps -полная мощность.

8. Энергия, запасаемая емкостью, это мощность, поглощенная за время t:

9. Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к емкости, является конденсатор, его основным параметром является емкость. В простейшем случае он представляет собой две металлические пластины разделенные диэлектриком. Емкость такого конденсатора определяется выражением

,

где ε– диэлектрическая проницаемость, S – площадь пластины, d – расстояние между пластинами.

Индуктивность

Индуктивность - идеальный элемент, который накапливает энергию в виде связанного с током магнитного поля.

Условное обозначение индуктивности приведено на рис.3.

1. Электрическая характеристика.

При протекании электрического тока через индуктивный элемент возникает поток сцепления , который пропорционален величине тока:

.

Эту характеристику называют - ампер-веберная характеристика.

2. Параметр элемента называется индуктивность: , единица измерения - Генри [Гн].

3. Закон Ома для мгновенных значений.

При протекании электрического тока на индуктивном элементе:

.

Если ток постоянный, то .

Разрешим это уравнение относительно тока, считая, что при t=0 напряжение на индуктивности мгновенно возрастает:

,

отсюда следует что, - это соотношение называют закон коммутации для индуктивности, оно означает, что при мгновенном изменении напряжения на индуктивности ток мгновенно измениться не может. Здесь учтено, что , I_L(-0) – ток через индуктивность до коммутации, I_L(+0) - – ток через индуктивность после коммутации.

4. Закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление индуктивности:

,

Из записанного следует:

а) модуль комплексного сопротивления зависит от частоты ;

б) – это означает, что напряжение опережает ток на 90⁰, т.е. j = j_U - j_I = 90⁰.

5. Мгновенная мощность:

.

Если P(t)>0, то накапливает энергию; если P(t)<0, то происходит отдача энергии.

6. Р_А = 0.

7. Р_Q = UI = P_S.

8. Энергия, которую запасает электрический элемент:

.

9. Реальным элементом, приближающимся к индуктивности, является катушка индуктивности. Она представляет собой ряд витков из тонкого провода; основным параметром является индуктивность.

Индуктивность зависит от параметров витка, от шага намотки, от числа витков, от магнитной проницаемости материала, введенного в катушку, то есть от сердечника.

Активные элементы

1) Идеальный источник ЭДС (“↑” показывает направление увеличение потенциала) – это источник который вырабатывающий напряжение, величина которого не зависит от сопротивления нагрузки или тока нагрузки (рис.), т.е. U_H = E = const, при var (R_H,, I_H). Реальный источник, приближающийся к идеальному источнику ЭДС, является аккумулятор.

Идеальный источник ЭДС не возможен т.к. мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем I_H=U_н/R_н. Если Rн® ∞, то P _ист = EI_H ® ∞.

Для реальных источников ЭДС (рис.) необходимо учитывать их внутреннее сопротивление Ri, что приводит к зависимости напряжения на нагрузке от тока нагрузки

U_H = E - I_H R_i.

Зависимость Uн(Iн) называется внешней характеристикой источника ЭДС. Чем меньше Ri, тем ближе источник к идеальному источнику ЭДС. Идеальный источник ЭДС должен иметь нулевое внутреннее сопротивление R_i = 0.

2) Идеальный источник тока. Это источник, который вырабатывает ток Iн через сопротивление нагрузки, величина которого не зависит от напряжения на нагрузке и ее сопротивления Rн, т.е. Iн=I=const, при var (Uн, Rн).

Идеальный источник тока невозможен т.к. мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем Uн =I_нR_н . Если R_н® , то P = I_нU_н .

Для реального источника тока (рис.), необходимо учитывать его внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости тока через нагрузку от сопротивления нагрузки

Iн=I -I₁, I₁=IRн/(Ri+Rн).

Отсюда следует, что когда происходит увеличение сопротивления нагрузки, то часть тока I проходит через сопротивление R_i, что приводит к уменьшению тока через нагрузку. Идеальный источник тока должен иметь внутреннее сопротивление Ri = , тогда I₁ = 0. На рис. показана внешняя характеристика источника тока.

3.8. Модели реальных пассивных элементов

В идеальных элементах электрических цепей протекает лишь один процесс преобразования энергии: либо поглощения энергии, либо накопления, либо выделение. Процессы, протекающие в реальных элементах гораздо сложнее чем в идеальных, поскольку в них протекает одновременно несколько процессов преобразования энергии. Модели реальных элементов называют схемами замещения или эквивалентными схемами, они состоятся из идеальных элементов, которые отражают процессы, протекающие в реальных элементах. При составлении эквивалентных схем учитывают конструктивные, технологические и частотные особенности.

Индексами «0» обозначены основные элементы схем, а индексами «S» вспомогательные, которые учитывают дополнительные процессы, протекающие в элементах. Элементы с индексами S называют паразитными, т.к. они мешают работе основного. Например, для всех элементов на высоких частотах необходимо учитывать индуктивности выводов элементов, а также емкость, которая всегда существует между ними. Для емкости необходимо учитывать несовершенство диэлектрика между пластинами (Rs – сопротивление утечки), для индуктивности - резистивное сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности.

ГЛАВА 3

Математические модели элементов

Электрических цепей

Любая электрическая цепь состоит из отдельных элементов, в которых при протекании электрического тока происходят достаточно сложные энергетические явления, связанные с преобразованием электрической энергии. Для упрощения описания процессов, происходящих в реальных элементах, их считают идеальными, т.е. предполагают, что каждый элемент обладает лишь одним каким-либо свойством: либо поглощать электрическую энергию - пассивные элементы, либо накапливать ее – реактивные элементы, либо создавать – активные элементы.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?