Матрицы и действия над ними. Умножение матриц.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Обратная матрица и ее вычисление.

Определение 2.1.Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию

. (1)

Можно доказать, что матрицы и являются коммутативными: .

Теорема 2.1(об обратной матрице). Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля . При этом

,

где – алгебраическое дополнение элемента .

Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

Определение 2.2.Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решений.Определение 2.3.Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.Определение 2.4.Две совместные системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй и, обратно, каждое решение второй системы является решением первой. Преобразования, переводящие систему уравнений в равносильную ей:

1. Перемена местами двух любых уравнений.

2. Умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля.

3. Перемена слагаемых, содержащих разные неизвестные, местами.

4. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Эти преобразования будем называть элементарными.

, , …, ,где Формулы Крамера.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.

Определение 3.14. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

. (15)

Векторное произведение двух векторов, его свойства и геометрический смысл.

Определение 4.1. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , такой что:

1) вектор перпендикулярен перемножаемым векторам: , ;

2) направление вектора определяется по правилу: если смотреть с конца стрелки вектора на плоскость, образованную векторами и , то вращение (внутри плоскости) от к по кратчайшему пути должно происходить против часовой стрелки;

3) модуль вектора определяется формулой:

, (1)

где - угол между векторами и .

Векторное произведение обозначается .

Уравнения прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей, т.е. системой:

Матрицы и действия над ними. Умножение матриц.

Матрица – таблица чисел вида -

Если число м не равно н, то матрица прямо – линейная, если равно то квадрат. ( ) – главная диагональ. Матрица из одной строки – матрица строка. Матрица из одной столбца – матрица столбец. Ноль матрица – все элементы нули. Матрица, у которой на главной диагонали единицы, а остальные нули – единичная матрица, значится Е. В транспонированной , если она получатся из исходной при замене строк на столбцы. = =В Сумма двух матриц называется матрица С по формуле: А+В=С

1)А+В=В+А – коммутативность. 2) (А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность. 3)А+0=А Матрицы можно умножать на число. А*К=В К – любое число. Произведение матрицы на матрицу. А*В=С Из формулы видно, что произведение возможно только, если число столбцов равно числу строк. Свойство умножения: 1)А*В # В*А – не коммутативность А*В=В*А – коммутативность. 2) (А*В)*С=АС+ВС – дистрибутивность. 3)А*Е=А=Е*А

2. Алгебраические дополнения и миноры. Определители второго порядка и их свойства. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число Aij = (− 1)i + jMij, где Mij — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Минор. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством det А = а11а22 - а12а21. Диагональ, образованная элементами а11 и а22 называется главной. Диагональ, образованная элементами а12 и а21 называется побочной. Свойства: 1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами. 2) Если в определители поменять местами любые 2 строки или столбца, то он изменит свой знак на противоположный. 3) Если строка (столбец) в определителе имеет общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя. 4) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю. 5) Если все элементы какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца умноженное на одно и то же число, то определитель не изменится. 3. Определители третьего порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Понятие об определителях n-го порядка.

Определитель n-порядка равен сумме попарных произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраических дополнений. Замечание: 1)Рекомендуется открывать определитель, где больше нулей. 2)Все свойства определителя 2 порядка справедливы для n-порядка.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология