Частотный критерий Найквиста.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 16

Для определения устойчивости САР с использованием критериев Гурвица и Михайлова необходимо иметь (знать) аналитическое выражение соответствующего характеристического полинома ( - для замкнутой САР; - для разомкнутой САР), что далеко не всегда известно.

Если, например, передаточная функция САР неизвестна, - она может быть определена экспериментально на основании измерения амплитудных фазочастотных характеристик, т.е. сначала экспериментально, например, определяются и , а затем «подбирается» соответствующее выражение для (или для ), обеспечивающее точно такие же амплитудные и фазовые характеристики Þ схема эксперимента Þ

САР

Определение bm, an в выражении

Расчет

Þ Þ Þ

где b_m – коэффициент полинома N(s);

a_n - коэффициенты полинома D(S) (или L(s) для разомкнутой САР).

Вышеописанный способ нахождения выражения для D(S) ( или для W(s)) называется идентификацией, т.е. по каким-то отдельным характеристикам САР (например, «восстанавливается» (определяется) аналитическое выражение линейной передаточной функции в виде с помощью которого можно определить и другие характеристики САР – например, переходной процесс (переходную и весовую функций).

С другой стороны можно не определяя аналитического выражения , а используя частотные свойства разомкнутой САР сделать вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой САР, поскольку как было показано выше, частотные свойства замкнутой САР полностью определяются частотными свойствами разомкнутой САР, т.е. зная можно легко рассчитать .

«Идеальным инструментом» для реализации вышеописанного алгоритма является частотный критерий Найквиста, который позволяет по известным частотным свойствам разомкнутой САР сделать вывод об устойчивости замкнутой САР.

Необходимо дополнить, что если аналитическое выражение известно, то критерий Найквиста применим «напрямую», т.е. без предварительного расчета на основании результатов экспериментов Þ поясним

W(s)

Известна неизвестна

эксперимент

построение годографа расчет

построение построение

Важной особенностью частотного критерия Найквиста является возможность определить не только состояние замкнутой САР (устойчива или неустойчива), но определить и запасы устойчивости, т.е. определить «как далеко» САР находится от границы устойчивости.

Рассмотрение критерия Найквиста выполним для различных состояний разомкнутой САР, а именно:

- разомкнутая САР устойчива;

- разомкнутая САР неустойчива;

- разомкнутая САР находится на апериодической границе;

- разомкнутая САР находится на колебательной границе;

6.5.1. Критерий Найквиста для замкнутых САР, устойчивых в разомкнутом состоянии.

Рассмотрим замкнутую САР, структурная схема которой имеет следующий вид:

W(s)

x(t) y(t)

См. критерий Михайлова.

Предположим, что замкнутая САР – устойчива Þ Тогда Þ

(6.5.9)

Þ подставляя (6.58) и (6.5.9) в (6.5.7), получаем:

(6.5.10)

Соотношение (6.5.10) означает, что при изменении w от 0 до ¥ вектор должен повернуться против часовой стрелки на угол, равный , где l – количество полюсов, расположенных в правой полуплоскости.

Определение: Это означает, что для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1;0 ×i) против часовой стрелки на угол, равный .

Графическая иллюстрация.

u(w)

Все эти рисунки соответствуют устойчивым замкнутым САР, хотя разомкнутые САР – неустойчивы.

Для САР – неустойчивых в разомкнутом состоянии и устойчивых в замкнутом состоянии критерий Найквиста может быть представлен в другом виде, а именно: с использованием логарифмических амплитудных и фазовых характеристик разомкнутой САР. Þ

Если годограф имеет вид типа рис.6.5.2.2. Þ

Правило гласит, что разность между числом положительных и отрицательных переходов через линию левее частоты w _среза должно равняться l/2, причем начало характеристики j (lgw) при w ® ¥ считается за полперехода. Þ

В этом случае кол-во положительных и отрицательных переходов левее w _среза = 0, но начало характеристики = ½ Þ т.к. l = 1 Þ все правильно.

САР – устойчива.

В формулировке критерия устойчивости на основании логарифмических частотных характеристик упоминалось и про переходы через линии и т.д. Þ Это имеет место для систем более высокого порядка, например, переход через линию требует, чтобы порядок системы был не ниже n = 7 и т.д.

6.5.3. Критерий устойчивости Найквиста для замкнутых САР, нейтральных в разомкнутом состоянии.

Как и ранее рассматривается САР, охваченная единичной обратной связью:

x(t) W(s) y(t)

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности