Наближені обчислення функції. Використання рядів

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Числовий ряд:

å u_n = u ₁+ u ₂+...+ u_n +...

збігається, якщо існує границя послідовності його часткових сум:

,

де

S_n = u ₁+ u ₂+...+ u_n.

Звідси випливає, що

S = S_n + R_n,

де R_n — залишок ряду, причому R_n ® 0, якщо n ®¥.

Для знаходження суми S ряду з заданою точністю e потрібно вибрати кількість доданків настільки великою, щоб справджувалася нерівність:

|R_n | < e.

Тоді часткову суму S_n наближено можна прийняти за точну суму S.

Дійсна функція ¦(x) називається аналітичною в точці x ₀, якщо в деякому околі цієї точки функція розкладається в ряд Тейлора:

.

При x ₀ = 0 отримуємо ряд Маклорена:

.

Нехай

Різниця R_n (x) = ¦(x) – Р_n (x) називається залишковим членом та є помилкою при заміні функції ¦(x) багаточленом Р_n (x).

Відомо, що

де 0 < q < 1.

Зокрема, для ряду Маклорена маємо:

Наприклад, обчислимо з точністю до 0,0001. Функція e^x розкладається так:

звідки

.

Оцінимо залишковий член R_n (x). Маємо:

Якщо взяти n = 3, то R_n < 0,0001.

Тому = 1 + 0,2 + 0,02 + 0,00133» 1,2213.

Чисельні методи розв’язання алгебраїчних та трансцендентних рівнянь

Дано рівняння:

¦(x) = 0, (1)

де функція ¦(x) визначена та неперервна на деякому скінченному чи нескінченному інтервалі а < x < b. Будь-яке значення x, що перетворює функцію ¦(x) на нуль, тобто ¦(x) = 0, називається коренем рівняння ¦(x) = 0 або коренем функції ¦(x).

Наближене знаходження коренів зазвичай складається з двох етапів: відділення коренів, тобто встановлення якомога найвужчих проміжків [a, b], в яких міститься один, і тільки один корінь; уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого рівня точності.

Для відділення коренів скористаємося відомою з математичного аналізу теоремою.

Теорема 1.

Якщо неперервна функція ¦(x) набуває різних знаків на кінцях відрізка [ а, b ], тобто ¦(а) ¦(b) < 0, то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння ¦(x) = 0, тобто знайдеться хоча б одне число x Î [ а; b ], таке, що f (x)= 0.

Корінь x буде єдиним, якщо похідна ¦ ' (x) існує та зберігає один і той же знак всередині інтервалу [ а; b ].

Корені рівняння можна наближено визначати графічно, як абсциси точок перетину графіка функції у = ¦(x) з віссю ОХ. Часто буває вигідно рівняння (1) замінити рівносильним рівнянням
j(x) = y(x), де функції j(x) та y(x) простіші, ніж функція ¦(x). Тоді, побудувавши графіки функцій у = j(x) та у = y(x), шукані корені знаходять як абсциси точок перетину цих графіків.

Метод половинного поділу

Нехай дано рівняння (1) та ¦(а)¦(b) < 0. Поділимо відрізок [ а, b ] навпіл. Якщо , то x= (а + b): 2є коренем рівняння. Якщо то вибираємо ту з половин [ a; (a + b): 2] чи [(a + b): 2; b ], на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий, звужений відрізок [ a ₁, b ₁] знову поділимо навпіл та проводимо ті самі міркування. У результаті отримаємо на якомусь етапі чи точний корінь рівняння (1), чи нескінченну послідовність вкладених один в один відрізків [ а ₁, b ₁], [ а ₂, b ₂],..., [ а_n, b_n ] таких, що f (a_n) f (b_n) < 0 та

Границя є коренем рівняння (1).

Очевидно, що та

Метод пропорційних частин (метод хорд)

Нехай для визначеності f (a) < 0 та f (b) > 0 і f' (x) > 0 (інші випадки зводяться до попереднього). Тоді крива буде опуклою вниз (рис. 9).

Рис. 9

Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої y = f (x) хордою, що проходить через точки А (a, f (a)), B (b, f (b)) та перетинає вісь ОХ у точці х ₁.

Рівнянням хорди є:

Припускаючи, що y = 0 та х = х ₁, отримаємо:

Через точки A ₁(x ₁, f (x ₁)) та B (b, f (b)) проводимо хорду A ₁ B, яка перетинає вісь ОХ в точці х ₂. Знаходимо:

Продовжуючи процес, отримаємо:

(2)

Можна показати, що послідовність (х_n) ® x при n ® ¥. В даному разі правий кінець відрізка [ a, b ], тобто відрізок [x, b ] залишався нерухомим.

Якщо f (a) > 0 та f (b) < 0, то нерухомим буде лівий кінець відрізка [ a, b ], тобто відрізок [ а, x], а послідовні наближення знаходять за формулою:

(3)

Взагалі, нерухомий той кінець відрізка, для якого знак функції f (x) збігається зі знаком другої похідної функції f¢¢ (x); послідовні наближення х_n лежать по ту сторону від кореня, де знак функції f (x)протилежний знакові її другої похідної.

Крім вищеописаних, часто використовуються ще такі методи: метод Ньютона, або метод дотичних, який подібний до методу хорд, але замість хорд використовуються дотичні до кривої y = f (x) у точках B_i (або A_i); комбінований метод, який поєднує в собі метод хорд та метод Ньютона; метод ітерацій, в якому рівняння (1) замінюється рівнянням х = j(х), х ₀ вибирається рівним деякому довільному значенню на інтервалі [ a, b ], а послідовність наближень будується за формулою х_n = j(х_{n –1}).

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте