Поверхность уровня и ее свойства

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

1. Две поверхности равного давления не пересекаются между собой.

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ

ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ

Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой, и вся масса жидкости движется как твердое тело.

Предположим, что цилиндр, наполненный жидкостью до высоты h, приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.2.11).

Рис 2.11

Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости, и всю ее массу. По истечении некоторого времени вся жидкость будет вращаться, примерно стой же угловой скоростью ω, что и сосуд.

Допустим, что такой момент времени наступил. Рассмотрим два интересующих нас вопроса.

1. Какую форму будет иметь поверхность равного давления, и в частности, свободная поверхность?

2. Каков закон распределения гидростатического давления?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, рассмотрим уравнение поверхности равного давления (2.31). Для нахождения проекций ускорения выберем в жидкости точку А и покажем ускорения возникающие под действием сил, действующих в жидкости. Силами, действующими в жидкости, являются сила земного тяготения (направленная вертикально вниз по оси OZ) и центробежная сила (направленная вдоль оси ОХ к периферии). В результате действия этих сил полное ускорение точки А будет складываться из ускорения свободного падения g и центробежного ускорения ε.

Составляющие массовых сил, действующих в данном случае на жидкость, X, Y, и Z будут равны:

; ; , (2.34)

где ε_х, ε_y – проекции центробежного ускорения по осям х и y.

Подставляя выражения (2.34) в уравнение (2.31) получаем

. (2.35)

После решения уравнения (2.35) относительно dz и его интегрирования получаем

. (2.36)

Постоянную интегрирования С находим из следующих условий: Х = 0, Y= 0, Z = h^*. Следовательно С = h^*, т.е. постоянная интегрирования равна глубине залегания самой нижней точки свободной поверхности (вершины параболы).

С учетом постоянной интегрирования С, и при условии, что величина h^* определяется из условия неизменности первоначального объема жидкости, т.е.

, (2.37)

уравнение (2.36) принимает вид:

. (2.38)

Полученное уравнение (2.38) является уравнением свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде. Согласно полученному уравнению (2.38), формой свободной поверхности является параболоид вращения.

В уравнении (2.38), x² + y²= r², где r – координата рассматриваемой точка А. При условии, что r = R, т.е. рассматриваемая точка А находится на внутренней поверхности вращающегося сосуда, наблюдается максимальный подъем жидкости на высоту z_max. Для определения z_max в уравнение (2.38) подставляем выражение x² + y²= r² и получаем

. (2.39)

Согласно полученному уравнению (2.39) можно сделать вывод, что жидкость во вращающемся сосуде поднимается на столько, на сколько и опускается.

Теперь установим закон распределения гидростатического давления.

Подставляя выражения (2.34) в уравнение (2.13) получим

. (2.40)

Выполняя интегрирования уравнения (2.40) получим

. (2.41)

Постоянную интегрирования С находим из следующих условий: Х = 0, Y= 0, Z = h^*, р=р_атм.

С учетом вышеперечисленного, уравнение (2.41) принимает следующий вид:

(2.42)

или

. (2.43)

Уравнения (2.42) и (2.43) являются уравнениями закона распределения гидростатического давления.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?