Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки a имеет производные до n -го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора:

,

– остаточный член в форме Лагранжа;
ξ = a + q(x – a), 0 < q < 1.

В частности, при а = 0 получаем формулу Маклорена:

,

где ξ = q x, 0 < q < 1.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки a имеет производные до n -го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора:

, ()

называется остаточным членом в форме Пеано.

Разложение основных элементарных по формуле Маклорена

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

В частности:

.

Пример 4.12. Разложить многочлен 3 x ⁴ – x ³ + 8 x ² + x – 1 по формуле Тейлора в точке х ₀ = 2.

Решение

Запишем формулу Тейлора:

f (x) =  f (x ₀) + + +...+ + R_n,

где R_n – остаточный член.

Найдем производные функции.

f ¢ (x) = 12 x ³ – 3 x ² + 16 x + 1;

f ¢¢(x) = 36 x ² – 6 x + 16;

f ¢¢¢(x) = 72 x – 6;

f ^(IV)(x) = 72;

f ^{( V )}(x) = 0;

f ^{( n )}(x) = 0 при n ³ 5.

Найдем значения функции и производных в точке x ₀ = 2.

f (x ₀) = f (2) = 3 × 2⁴ – 2³ + 8 × 2² + 2 – 1 = 48 – 8 + 32 + 1 = 73;

f ¢(x ₀) = f ¢(2) = 12 × 2³ – 3 × 2² + 16 × 2 + 1 = 12 × 8 – 3 × 4 + 32 + +1= 96 – 12 + 33 = 117;

f ¢¢(x ₀) = f ¢¢(2) = 36 × 4 – 6 × 2 + 16 = 144 – 12 + 16 = 148;

f ¢¢¢(x ₀) = f ¢¢¢(2) = 72 × 2 – 6 = 144 – 6 = 138;

f ^{( IV )}(x ₀) = f ^{( IV )}(2) = 72.

Тогда

f (x) = 3 x ⁴ – x ³ + 8 x ² + x – 1 = 73 + 117(x – 2) + (x – 2)² + + (x – 2)³ + (x – 2)⁴= 73 + 117(x – 2) + 74(x – 2)² + 23(x – 2)³ +
+ 3(x – 2)⁴.

Пример 4.13. Вычислить пределы:

1) 2) 3)

двумя способами – по формуле Тейлора и по правилу Лопиталя.

Решение

Вычислим предел по правилу Лопиталя.

= =

.

Заметим, что второй предел в данном произведении равен 1.

В первом пределе получили неопределенность вида . Тогда по правилу Лопиталя:

Вычислим предел по формуле Тейлора

Разложим f(x)=arcsin x и g(x)=arctg x до членов третьего порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

.

Найдем значение функции f(x)=arcsin x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.

Тогда

.

Найдем значение функции g(x)=arctg x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.

Тогда

.

В итоге получаем

2) .

Вычислим предел по правилу Лопиталя

Вычислим предел по формуле Тейлора

Разложим функции f(x)= и g(x)= до членов третьего порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

.

Найдем значение функции f(x)= в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.

Тогда

Найдем значение функции g(x)=sin x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.

Тогда

3)

Вычислим предел по правилу Лопиталя

Вычислим предел по формуле Тейлора

Разложим функции f(x)=cos5 x и g(x)= ln(1 – 4 x) до членов четвертого порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Тогда при имеем:

Тогда при имеем:

В итоге получаем:

Исследование функций одного переменного с помощью производной.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры