Диференціювання неявно заданої функції

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 9Следующая ⇒

Якщо залежність між змінними y та x задана рівнянням F(x,y)= 0, то y називається неявною функцією аргументу x.

Правило: щоб продиференціювати неявно задану функцію, потрібно взяти похідну по x від обох частин рівності F(x,y)=0, пам’ятаючи, що y є функція від x, яка перетворює це співвідношення у тотожність; потім здобуте співвідношення потрібно розв’язати відносно похідної .

Зауваження. Безпосередньо порівнювати похідні від обох частин рівності можливо тільки в тому випадку, коли ця рівність є тотожністю (а не рівнянням!). Тому в отриманий вираз для потрібно підставляти тільки ті числові значення які задовольняють дане рівняння F(x,y)=0.

Приклад 1. Знайти похідну функції заданої рівнянням

Розв’язання. Диференціюючи обидві частини рівності і враховуючи, що дістаємо

Розв’яжемо це рівняння відносно

Зауважимо, що при диференціюванні другого доданка ми скористалися формулою для похідної добутку двох функцій (3), а при диференціюванні третього доданка – правилом диференціювання складеної функції, а саме:

Приклад 2. Знайти похідну від неявної функції

Розв’язання. Спочатку для спрощення викладок перепишемо рівняння у вигляді Диференціюємо ліву і праву частини рівності, вважаючи при цьому y функцією від x:

Приклад 3. Знайти в точці (0;1), якщо

Розв’язання. Продиференціюємо по x обидві частини заданої рівності:

Приклад 1. Знайти похідну функції

Розв’язання. Безпосереднє знаходження похідної за правилами диференціювання частки та добутку неефективне, так як приводить до громіздких викладок. Застосуємо логарифмічне диференціювання.

Попередньо знайдемо логарифм даної функції:

Це неявна функція, диференціювати яку ми вже вміємо. Скористаємося правилом диференціювання неявної функції:

Помножимо обидві частини останньої рівності на y:

І, нарешті враховуючи, що є задана функція (дивись умову задачі), дістанемо остаточний вираз для шуканої похідної

Логарифмічне диференціювання застосовується також для знаходження похідної показниково-степеневої функції, тобто функції, у якої і основа і показник змінні: де – задані і диференційовані функції від x.

Приклад 2. Задана функція Знайти

Розв’язання. Беручи натуральний логарифм від обох частин рівності, дістанемо або Оскільки стоїть під знаком логарифма, то суттєвим є застереження в умові задачі, що береться з інтервалу так як тоді має сенс.

Диференціюючи останню рівність по x, звертаємо увагу на її праву частину, де записаний добуток двох функцій: Множимо обидві частини цієї рівності на y, враховуючи, що згідно з умовою задачі , будемо мати

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману