IV. Комплексні числа (к. ч.)

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

IV. Комплексні числа (к. ч.)

Дійсні числа

Нагадаємо, що числа 1, 2, 3, 4,..., n,..., за допомогою яких ведеться лічба, називаються натуральними. Множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N,

= {1, 2, 3, …, n,...}.

Якщо до множини натуральних чисел включити число нуль, а також –1, –2, –3,..., то утвориться множина цілих чисел Z ={..., –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

Раціональні – це числа вигляду , де q – натуральне, а p – ціле. Множина раціональних чисел позначається Q = { , }. Раціональні числа – виражаються звичайними дробами, які можна перетворювати у десяткові: скінченні або нескінченні періодичні.

Числа, які виражаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами називаються ірраціональними (нераціональними). Множину ірраціональних чисел позначають буквою І. Прикладами ірраціональних чисел є:

=3,1415926536897931..., е = 2,71828182845904535...,

= 1,4142135623..., і т.п.

Об’єднання множин раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел (позначається буквою R), тобто:

.

Відомо, що між точками числової осі ОХ і множиною дійсних чисел R існує взаємно однозначна відповідність.

Квадратні рівняння з від’ємними дискримінантами

Відомо, що корені квадратного рівняння

(1)

знаходяться за формулами

(2)

де вираз називають дискримінантом.

При D >0 корені квадратного рівняння дійсні і різні;

при D =0 корені дійсні і рівні;

при D <0 говорять. що дійсні корені не існують, а існують, так звані, комплексні корені.

Приклад. Знайти корені квадратного рівняння

.

За формулами (2) маємо:

.

Серед дійсних чисел вираз не має смислу, тобто не є дійсним числом. Запишемо формально: .

Символ прийнято позначати буквою і, тобто:

, а

його називають уявною одиницею.

Тепер корені рівняння запишуться:

.

Перевірка. Для маємо:

.

Аналогічно робиться перевірка для .

Отже, для квадратного рівняння існують два корені і , які не є дійсними, вони відносяться до комплексних чисел.

Приклади для самостійного розв’язання

Розв’язати квадратні рівняння:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Алгебраїчна форма к.ч.

В алгебраїчній формі к.ч.мають вигляд , де дійсні числа; число називається дійсною, а – уявною частиною к.ч.; позначення: ; символ формально визначається рівністю і називається уявною одиницею.

Два к.ч. називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини.

Основні операції над к.ч. в алгебраїчній формі введені в §§4.4,4.5,4.6.

Надалі домовимось вирази і т.п. вважати к.ч., записаними в алгебраїчній формі, отже, і т.п. набуватимуть тільки дійсних значеннь.

Нехай дано число . Якщо , то дійсне число: ; якщо , то називається чисто уявним числом: .

Приклад. Розв’язати рівняння ; де дійсні числа.

Розв¢язання. З рівності к.ч. випливає: . Розв’язуючи цю систему, одержимо .

Спряжені к.ч.

Числа і називаються спряженими. Таким чином, якщо і – спряжені числа, то і .

Очевидно, якщо дійсне число, то ; якщо – чисто уявне число, то . Навпаки, якщо і , то відповідно і - дійсне і чисто уявне числа.

Приклади.

1) Якщо , то .

2) Безпосередньо перевіряється тотожність .

Модуль к.ч.

Модулем числа називається невід’ємне число .

Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо , то .

Приклади.

1) .

2)

3) .

4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.

Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел

Додавання і віднімання к.ч.

Приклади

1. .

2. .

Обчислити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

Множення к.ч.

Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що ):

Приклади.

.

Правильна тотожність Дійсно,

Спростити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

Ділення к.ч.

Ділення к.ч. виконується згідно правила (при умові ):

Приклади.

1)

2)

3) Розв’язати рівняння

Розв’язання. Відповідь: .

Перевірка:

Спростити самостійно вирази

1. 2. 3. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. .

Коло, круг, кільце

Нехай дано числа

Рівнянню задовольняють всі числа (і тільки вони), що розміщені на колі радіуса з центром у точці . Дійсно, якщо , то .

Очевидно, що нерівності і задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце з центром у точці .

Звернемо увагу на вироджені випадки кільця :

(1) – круг з виключеним центром ;

(2) – зовнішність круга – круг з границею;

(3) – вся площина з виключеною точкою ;

(4) при маємо пусту множину.

Рис. 1.2

Приклад. З’ясувати, чи належить точка p до круга .

Розв’язання. Порівняємо радіус з відстанню від центра круга до точки p:

.

Відповідь: точка p розміщена поза кругом.

Комплексне число як вектор

Кожному к.ч. відповідає єдиний радіус-вектор , і навпаки, кожному радіусу-вектору відповідає єдине к.ч. (рис.1.1). Ми будемо зображати к.ч. відповідним йому радіус-вектором або довільним направленим відрізком, який при паралельному переносі збігається з . Зрозуміло, що модулі к.ч. і відповідного йому вектора рівні.

Якщо вектор зображає к.ч. , то домовимось писати .

Нехай Розглянемо паралелограм , див. рис.1.3.

Рис.1.3

Очевидно,

, тобто сума і різниця к.ч. відповідають сумі і різниці векторів. Таким чином, додавання і віднімання набуває простого геометричного змісту.

Множення і ділення к.ч.в геометричній формі розглядаються в §1.14.

Приклад. Доведемо нерівність , яка є узагальненням нерівності абсолютних величин дійсних чисел.

Використовуємо простий факт: сума довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини третьої сторони. З рис. 1.3 випливає, що , тобто .

Випадок чисел, розміщених на одній прямій пропонуємо розглянути самостійно.

Приклад. Знайти суму і різницю і , де , . Переконатися за допомогою геометричної побудови, що ці вектори можна додавати і віднімати за правилом паралелограма.

Розв’язання.

.

Виконати самостійно

В умовах попереднього прикладу знайти і , де 1) , ;

2) , .

Кут нахилу вектора до осі

Розглянемо довільний ненульовий вектор (див. рис. 1.4). Величина кута j, утвореного обертанням осі в площині навколо точки до суміщення її з напрямком вектора , називається кутом нахилу цього вектора до осі ; при цьому j , якщо обертання здійснюється проти годинкової стрілки, і j при обертанні за годинковою стрілкою; якщо напрямок збігається з напрямком , то j .

Рис. 1.4

Таким чином, кут нахилу задає напрямок вектора. З рис.1.4. випливає, що додатний j₊ і від’ємний j_- кути визначають один і той же напрямок.

Очевидно також, якщо довільний кут j задає деякий напрямок, то такий же напрямок будуть задавати і кути , де . Отже, за кут нахилу вектора можна приймати будь-який з кутів , де ціле число.

Приклад. Легко перевірити, що кути 135⁰,495⁰,-225⁰,-945⁰ визначають один і той же напрямок (відносно осі ).

Аргумент комплексного числа

Нехай вектор зображає к.ч. , рис.1.5. Аргументом числа називається будь-яке із значень кута нахилу вектора до осі :

, де .

Таким чином, аргумент к.ч. набуває нескінченну множину значень. Аргумент числа не визначається.

Рис. 1.5

Найменше за абсолютною величиною значення (тобто значення з інтервалу ) називається головним значенням аргументу к.ч. і позначається , тому , .

Приклади.

1) Використовуючи рис. 1.6, легко переконатись, що

Рис. 1.6

2) Для довільного маємо . Пропонуємо довести цю тотожність самостійно.

Обчислення аргументу

Спочатку відмітимо властивість:

1) Аргумент дійсного і чисто уявного числа: якщо , то

2) Аргумент будь-якого числа можна знаходити за формулою:

(1.1)

Доведемо останню формулу у випадку, коли зображується точкою в другій чверті (рис.1.7). З . Оскільки , то

Рис 1.7

Інші випадки розміщення числа на площині розглядаються аналогічно.

Зауважимо, що вказаним способом для аргументу можна одержати формули, в яких використовуються арккотангенс, арккосинус чи арксинус.

Якщо не вимагається високої точності, то аргумент к.ч. можна знаходити графічно. З цією метою слід побудувати к.ч. на міліметровому папері і виміряти відповідний кут за допомогою транспортиру. Цей спосіб іноді використовують для грубої перевірки обчислень.

Приклад 1. Покажемо, як обчислюють аргументи чисел за допомогою формул цього пункту.

, (застосована формула (1.1), чверті);

, (формула (1.1), чверті);

, (формула (1.1), чверті);

, (формула (1.1), чверті);

Приклад 2. Достатньо встановити знаки дійсної і уявної частин к.ч., щоб перевірити рівності:

,

.

Tpигонометрична форма к.ч.

Нехай відомі модуль і аргумент к.ч. (див рис.1.5). Зауважимо, що - полярні координати точки , яка зображає число (якщо - полярна вісь).

У випадку розміщення осей і , вказаному на рис. 1.5, відомі формули переходу від полярних до прямокутних координат точки . Додамо ці рівності, помноживши другу на :

Остання форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Як бачимо, щоб знайти тригонометричну форму, досить обчислити модуль і аргумент к.ч.

Приклади. Записати в тригонометричній формі слідуючі числа:

1) 2) 3)

Розв’язання

1)

Відповідь:

2)

Відповідь:

3)

Відповідь: .

Розглянемо алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми к.ч.

Нехай дано к.ч. , на прикладі . Для переходу до тригонометричної форми необхідно:

1. Побудувати на площині ХОУ к.ч. і встановити, до якої чверті належить . На даному прикладі: ІІІ четв. Див. рис.

2. Знаходимо модуль к.ч. за формулою (1)

(1)

На прикладі маємо:

3. За допомогою таблиць або мікрокалькулятора знаходимо , ураховуючи при цьому властивість

.

На прикладі: .

4. За формулою (1.1) § 1.14 знаходимо . Для даного прикладу: ІІІ чверті. Маємо:

5. Підставимо знайдені і у формулу

(2)

Для маємо:

Відповіді.

1. 1) , ;

2) ;

3) .

2. 1) , ;

2) ;

3) .

4.17. Формула піднесення к.ч.до цілого степеня n

Формула добування коренів

Формула добування коренів го степеня з числа

(1.4)

де символ означає корінь арифметичний з дійсного числа .

Таким чином, при має точно значень.

Приклад. Знайти всі значення .

Розв’язання. Запишемо число 8 в тригонометричній формі:

Застосовуємо формулу (1.4) при де

Одержуємо три значення кореня:

Відповідь:

Формула Ейлера

Формула Ейлера має вигляд:

, (1.5)

де будь-яке дійсне число.

Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою ) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через , але це виправдано тим, що введений таким чином символ буде володіти властивостями експоненти в дійсній області.

За допомогою формул §§4.14,4.15,4.3 (приклад 3) безпосередньо перевіряються слідуючі властивості:

( ціле); .

Приклад. Обчислити .

Розв’язання.

4.20. Експонента e^z

Нехай . Покладемо . Ця рівність є означенням експоненти з будь-яким показником.

Основні властивості:

( ціле);

Для доведення використовуються властивості експоненти з дійсними і чисто уявними показниками (див.§1.17).

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. Якщо то

Відповідь:

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язання.

Приклад 3. Показати, що якщо комплексне число, то

Розв’язання. Нехай Очевидно, що

Залишилось зауважити, що границя змінної величини дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли границя її модуля дорівнює нулю.

Показникова форма к.ч.

Нехай Якщо число записати в тригонометричній формі а потім застосувати формулу Ейлера (1.5), одержимо так звану показникову форму к.ч.

.

Така форма запису чисел дозволяє використовувати властивості експоненти і тому зручна для різних перетворень.

Множення, ділення і піднесення до степеня к.ч.: якщо

то

;

( ціле).

Приклад 1. Записати у показниковій формі к.ч. .

Розв’язання. Користуємось алгоритмом, який вже викладений у §1.15.

1. Будуємо к.ч. на площині ХОУ і визначаємо чверть, якій воно належить.

З рис. видно, що ІІІ чв.

2. Обчислюємо модуль к.ч.

3. Знаходимо

4. Оскільки ІІІ чв., то за формулою (1.1) §1.14 маємо:

5. За формулою запишемо

.

Перевірка.

Відповідь.

Приклад 2. Використовуючи показникову форму чисел обчислити наближено (всі обчислення виконувати з чотирма знаками після коми). Для контролю знайти точне значення , виконуючи обчислення в алгебраїчній формі.

Розв’язання. Знаходимо квадрати модулів і аргументи (в градусах) даних чисел:

Виконуючи дії над числами в показниковій формі, отримаємо

До алгебраїчної форми запису числа переходимо за допомогою формули Ейлера (1.5):

Контроль. Виконаємо дії в алгебраїчній формі:

Відповіді.

1. . 2. .

3. . 4. .

IV. Ко

123Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов