Прямая линия в пространстве.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10

а) Общие уравнения прямой. Рассмотрим систему двух уравнений первой степени

Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны (т. е. их нормальные векторы не коллинеарны), то система определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей.

Уравнения называют общими уравнениями прямой.

b) Канонические уравнения прямой. Для решения задач уравнения не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Положение прямой будет вполне определено, если заданы лежащая на ней точка М ₁ (х ₁; у ₁; z ₁ ) и ненулевой ве­ктор , коллинеарный данной прямой и поэтому называемый направляющим вектором этой прямой (рис. 14).

Произвольная точка M (x; y; z)лежит на прямой

L только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. когда координаты этих векторов пропорциональны:

Уравнения определяют прямую, проходящую через заданную точку М ₁(х ₁; у ₁; z ₁) и коллинеарную вектору . Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой.

Числа l, m и n, называемые направляющими коэффициентами прямой,являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор – ненулевой, то все три числа l, m и n не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю.

В частном случае, когда направляющий вектор – единичный, т. е.

, уравнения имеют следующий вид:

Направляющими коэффициентами здесь являются направляющие косинусы вектора .

Уравнения равносильны системе двух уравнений первой степени вида, например:

В первом уравнении системы отсутствует координата z. Следовательно, нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Oz (его проекция на ось Oz равна нулю). Таким образом, это уравнение определяет плоскость P, параллельную оси Oz (рис. 15) и проектирующую прямую L на координатную плоскость Oxy. Точно так же второе уравнение системы определяет плоскость Q, которая проектирует прямую L на координатную плоскость Oxz. Можно рассматривать систему

или систему

каждая из которых определяет ту же прямую L.

В заключение укажем, как общие уравнения прямой привести к каноническим уравнениям. Для этого достаточно найти: 1) хотя бы одну точку М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), координаты которой удовлетворяют системе; 2) направляющий вектор , в качестве которого можно взять векторное произведение , где , .

с) Уравнения прямой, проходящей через две различные точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂). Эти уравнения имеют вид:

Для получения их достаточно заметить, что прямая проходит через точку М ₁(х ₁; у ₁; z ₁) и имеет направляющий вектор , и воспользоваться каноническими уравнениями.

d) Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений этой прямой. Примем за параметр t каждое из отношений. Тогда

Так как хотя бы один из знаменателей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся числовая ось: – ∞ < t < + ∞. Из равенств находим

параметрические уравнения прямой. Если принять параметр t за время, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью .

Параметрические уравнения удобны, когда требуется найти точку пересечения прямой L, заданной этими уравнениями, с непараллельной ей плоскостью P, заданной общим уравнением . Для определения точки пересечения нужно выражения для x, y, z из уравнений подставить в уравнение плоскости P. В результате очевидных преобразований получим

Подставляя найденное значение параметра t в уравнения прямой, находим искомую точку M (x; y; z) пересечения прямой L с плоскостью P.

11. Взаимное расположение двух прямых и прямой
с плоскостью.

а) Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть две прямые и заданы своими каноническими уравнениями

и

Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами и . Пользуясь определением скалярного произведения и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов и , мы получим для определения угла следующую формулу:

Условие параллельности прямых и , эквивалентное условию коллинеарности векторов и , заключается в пропорциональности координат этих векторов и имеет вид

Условие перпендикулярности прямых и следует из формулы

при :

b) Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением , и прямую L, заданную каноническими уравнениями .

Поскольку угол между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу между направляющим вектором и нормальным вектором плоскости (рис. 16), то из определения скалярного произведения и из равенства мы получим для определения угла между прямой L и плоскостью P следующую формулу:

Условие параллельности прямой L и плоскости P эквивалентно условию перпендикулярности векторов и и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости P эквивалентно условию параллельности векторов и и выражается пропорциональностью координат этих векторов:

c) Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Пусть две прямые L ₁ и L ₂ заданы своими каноническими уравнениям. Очевидно, что для принадлежности их к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора , и были компланарны

Если прямые и удовлетворяют этому условию, то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых и имеет вид , то для пересечения прямых и необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций

d) Условия принадлежности прямой к плоскости. Эти условия выражаются двумя равенствами:

первое из которых означает, что точка М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), через которую проходит прямая принадлежит плоскости Ax + By + Cz + D = 0, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите формулу расстояния между двумя точками.

2. Назовите формулы для нахождения координат середины отрезка.

3. Назовите формулу углового коэффициента прямой.

4. Перечислите способы задания прямой на плоскости.

5. Назовите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

6. Перечислите способы задания плоскостей.

7. Перечислите способы задания прямой в пространстве.

8. Назовите формулу нахождения расстояния от точки до плоскости.

9. Назовите условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Рекомендуемая литература:

1. Михалев, А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие для студентов учреждений высшего проф. образования. / А.А.Михалев, И.Х.Сабитов –М.: Издательский центр «Академия», 2013 г.- 256 с.

2. Кремер, Н.Ш., Фридман, М.Н. Линейная алгебра [Электронный ресурс]: учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, М.Н. Фридман - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство Юрайт, 2015. - URL: http://biblio-online.ru/book/EB3E86F3-26C5-43FD-BA7E-C55EA66646CA

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов