Понятие производной, её геометрический и механический смысл

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

Пусть функция y = f (x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x₀ обозначим через Δx и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x₀) обозначим через Δy и назовем приращением функции.

Итак, Δx = x – x₀, Δy = f(x) – f(x₀). Из равенства Δx = x – x₀ получаем равенство
x = x₀ + Δx, тогда Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀).

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается f ' (x₀).

Итак,

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x² в точке x₀ = 3.

Решение

Если f ' (x₀) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x₀. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x₀ и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x_0, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Если в точке x₀ функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x₀ = 0, так как .
Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x₀:

не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x₀ = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M₀ на графике имеет координаты x₀, f(x₀), другая точка графика M – координаты x₀ + Δx, f(x₀ + Δx). Прямая M₀M является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом β. Пусть f '(x₀) существует, т.е. есть некоторое число. Из ΔM₀MА получаем: (известно, что tgβ – угловой коэффициент прямой M₀M). Если Δx → 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M₀, при этом секущая M₀M, поворачиваясь вокруг точки M₀, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M₀K, при этом β→α (α – угол между касательной M₀K и осью Ox), tgβ → tgα.

Таким образом, но tgα = k есть угловой коэффициент касательной M₀K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x₀: f '(x₀) = k = tgα.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M₀K имеет вид:

y – f (x₀) = f '(x₀)(x – x₀).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t₀ точка находилась в положении M₀ (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t₀. Рассмотрим другой момент времени t₀ + Δt. За время t₀ пройденный точкой путь равен: S₀ = f (t₀), за (t₀ + Δt) пройдено расстояние S = f(t₀ + Δt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Δt пройден путь M₀M и он равен:
S – S₀ = f(t₀ + Δt) – f(t₀) = ΔS.

Средняя скорость V_ср за пpомежуток времени Δt равна: . Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Δt. Скоростью в момент времени t₀ (обозначим V(t₀)) называется предел средней скорости V_ср при Δt → 0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t₀ есть скорость в момент времени t₀.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология