Уравнение прямой на плоскости «в отрезках»

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Помимо известных способов построения прямой на плоскости – по двум точкам, по данной точке и «наклону» прямой – удобно пользоваться так называемым уравнением прямой «в отрезках» на координатных осях:

(7)

которое может быть составлено для любой прямой, не проходящей через начало координат.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением «в отрезках» на осях: Решение. (рис. 2).

Рис. 2

Нормальное уравнение прямой

Пусть – фиксированная точка плоскости, – вектор, заданный своими направляющими косинусами, тогда уравнение вида задает прямую на плоскости, проходящую через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором этой прямой. Запишем скалярное произведение вектора и вектора в координатной форме:

(8)

Теперь, введя обозначение получим нормальное уравнение прямой:

(9)

Рис. 3

где – угол наклона перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, к оси Ох; – угол наклона этого перпендикуляра к оси Оу (рис. 3). Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0может быть приведено к нормальному виду при умножении его на нормирующий множитель

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена.

Полярные параметры прямой

Полярными параметрами можно задать положение всякой прямой на плоскости.

Рис. 4

Полярным расстоянием прямой (рис. 4) называется длина p перпендикуляра ОК, опущенного на прямую из начала координат О. Полярное расстояние может быть положительным или равным нулю (). Полярным углом прямой называется угол между положительным направлением

оси Ох и перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат. Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой. При этом нормальное уравнение прямой можно записать в виде:

(10)

 

2. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ: ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

Утверждение 2. Пусть на плоскости заданы две прямые: и В этом случае выполняется одно и только одно из трех условий:

1) прямые не имеют общих точек при этом система линейных алгебраических уравнений несовместна (имеет пустое множество решений);

2) прямые имеют единственную общую точку при этом система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение которое может быть найдено, например, по формулам Крамера:

(11)

(12)

 

3) прямые совпадают при этом система линейных алгебраических уравнений не определена (имеет бесконечно много решений).

Условие, при котором три точки лежат на одной прямой

Три точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель

.

(13)

Равенство нулю определителя (13) означает, что площадь «треугольника» равна нулю.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов