Глава 4. Арифметические основы компьютеров

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Глава 4. Арифметические основы компьютеров

Что такое система счисления?

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 ^. 10² + 5 ^. 10¹ + 7 ^. 10⁰ + 7 ^. 10^—1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 +... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m,

где a_i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
• в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);
• восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆



Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.



Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;
215,4₈ = 2^. 8² + 1^. 8¹ + 5^. 8⁰ + 4^. 8^-1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8^. 16¹ + D^. 16⁰ + 8^. 16^-1 = 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;
36₈ = 38¹ + 68⁰ = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;
13351₈ = 1^. 8⁴ + 3^. 8³ + 3^. 8² + 5^. 8¹ + 1^. 8⁰ = 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈:163₈

Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6^. 8¹ + 3^. 8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈: 16₈

Ответ: 35: 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;
2,4₈ = 2^. 8⁰ + 4^. 8^-1 = 2,5.

Целые числа без знака

Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 00000000₂ до 11111111₂. В двубайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Целые числа со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:


Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:


Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -11₁₀ вместо обратного кода числа -10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n-1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n-1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:



Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:


Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:


Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

• на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
• время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011₂ на 101101₂.

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 ^. 2^-1 и 0.11011 ^. 2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101 ^. 2¹⁰ и 0.11101 ^. 2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101 ^. 2⁰.

Умножение

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101 ^. 2¹⁰¹) ^. (0.1001 ^. 2¹¹) = (0.11101 ^. 0.1001) ^. 2^(101+11) = 0.100000101 ^. 2¹⁰⁰⁰.

Деление

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111 ^. 2¹⁰⁰: 0.101 ^. 2¹¹ = (0.1111: 0.101) ^. 2^(100-11) = 1.1 ^. 2¹ = 0.11 ^. 2¹⁰.

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

Упражнения

4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
4.2. Какие целые числа следуют за числами:

4.3. Какие целые числа предшествуют числам:

4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

• а) в двоичной системе;
• б) в восьмеричной системе;
• в) в шестнадцатеричной системе?

4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100_x = 1 · x² + 0 · x¹ + 0 · x⁰, 21_x = 2 · x¹ + 1 · x⁰, 24_x = 2 · x¹ + 4 · x⁰. Таким образом, x² = 2x + 2x + 5 или x² - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:

• а) 20 + 25 = 100;
• б) 22 + 44 = 110?

4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125₁₀; б) 229₁₀; в) 88₁₀; г) 37,25₁₀; д) 206,125₁₀.

4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СE₁₆; б) 9F40₁₆; в) ABCDE₁₆; г) 1010,101₁₆; д) 1ABC,9D₁₆.

4.13. Выпишите целые числа:

• а) от 101101₂ до 110000₂ в двоичной системе;
• б) от 202₃ до 1000₃ в троичной системе;
• в) от 14₈ до 20₈ в восьмеричной системе;
• г) от 28₁₆ до 30₁₆ в шестнадцатеричной системе.

4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

4.20. Вычтите:

4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

4.22. Разделите 10010110₂ на 1010₂ и проверьте результат, умножая делитель на частное.

4.23. Разделите 10011010100₂ на 1100₂ и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.

4.24. Вычислите значения выражений:

• а) 256₈ + 10110,1₂ ^. (60₈ + 12₁₀) - 1F₁₆;
• б) 1AD₁₆ - 100101100₂: 1010₂ + 217₈;
• в) 1010₁₀ + (106₁₆ - 11011101₂) 12₈;
• г) 1011₂ ^. 1100₂: 14₈ + (100000₂ - 40₈).

4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

• а) 74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆;
• б) 6E₁₆, 142₈, 1101001₂, 100₁₀;
• в) 777₈, 101111111₂, 2FF₁₆, 500₁₀;
• г) 100₁₀, 1100000₂, 60₁₆, 141₈.

4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2,..., -3 в однобайтовом формате:

• а) в прямом коде;
• б) в обратном коде;
• в) в дополнительном коде.

4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.

4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.

4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.

4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.

4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:

Ответы — Раздел 4. Арифметические основы компьютеров

4.1. в) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; г) пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.

4.2. а) 10₂; б) 110₂; в) 1000₂; г) 10000₂; д) 101100₂; е) 2₈; ж) 10₈; з) 40₈; и) 200₈; к) 10000₈; л) 10₁₆; м) 20₁₆; н) 100₁₆; о) 9AFA₁₆; п) CDF0₁₆.

4.3. а) 1₂; б) 1001₂; в) 111₂; г) 1111₂; д) 10011₂; е) 7₈; ж) 17₈; з) 77₈; и) 107₈; к) 777₈; л) F₁₆; м) 1F₁₆; н) FF₁₆; о) A0F₁₆; п) FFF₁₆.

4.4. Четное двоичное число оканчивается цифрой 0, нечетное двоичное — цифрой 1, четное троичное — цифрами 0, 1 или 2.

4.5. а) 7; б) 511; в) 4091.

4.7. а) ни в какой; б) в шестеричной.

4.8. Основание 5.

4.9. а) 91; б) 183; в) 225; г) ³⁵/₆₄; д) 52,75; е) 335; ж) 520; з) 668; и) ⁷/₁₆; к) 83³³/₆₄; л) 31; м) 2748; н) 4112; о) ⁴¹/₆₄; п) 478²⁵/₃₂.

4.10. а) 1111101₂; 175₈; 7D₁₆; б) 11100101₂; 345₈; E5₁₆; в) 1011000₂; 130₈; 58₁₆; г) 100101,01₂; 45,2₈; 25,4₁₆; д) 11001110,001₂; 316,1₈; CE,2₁₆.

4.11. а) 11767,34₈; 13F7,7₁₆; б) 1653,564₈; 3AB,BA₁₆; в) 271,547₈; B9,B38₁₆; г) 13634,6₈; 179C,C₁₆; д) 27,7674₈; 17,FBC₁₆; е) 1425,62₈; 315,C8₁₆.

4.12. а) 1011001110₂; 1316₈; б) 1001111101000000₂; 117500₈; в) 10101011110011011110₂; 2536336₈; г) 1000000010000,000100000001₂; 10020,0401₈; д) 1101010111100,10011101₂; 15274,472₈.

4.13. а) 101101₂, 101110₂, 101111₂, 110000₂; б) 202₃, 210₃, 211₃, 212₃, 220₃, 221₃, 222₃, 1000₃; в) 14₈, 15₈, 16₈, 17₈, 20₈; г) 28₁₆, 29₁₆, 2A₁₆, 2B₁₆, 2C₁₆, 2D₁₆, 2E₁₆, 2F₁₆, 30₁₆;

4.14. а) 47₁₀ - 101111₂ - 57₈ - 47₁₀ - 57₈ - 101111₂ - 2F₁₆ - 47₁₀ - 2F₁₆ - 101111₂ - 47₁₀; б) 79₁₀ - 1001111₂ - 117₈ - 79₁₀ - 117₈ - 1001111₂ - 4F₁₆ - 79₁₀ - 4F₁₆ - 1001111₂ - 79₁₀.

4.15.

4.16.

4.17. а) 11010100₂; б) 10001,0₂; в) 10101,1₂; г) 11001,1₂; д) 134₈; е) 224₈; ж) 24,3₈; з) 34₈; и) 19₁₆; к) 25₁₆; л) 19,A₁₆; м) 26₁₆.

4.18. а) в 16-й; б) в 10-й; в) в 3-й; г) в 8-й; д) в 16-й.

4.19. в) А=9, B=4, C=5, D=3, F=1, L=0, M=7, N=8; г) A=3, B=6, C=2, D=5, E=9, F=7, G=1, H=0, I=4, J=8; д) A=9, B=3, C=4, D=2, E=1, F=8, G=0, H=7, I=6.

4.20. а) 1101₂; б) 1,11₂; в) 1010,1₂; г) -10,01₂; д) 3₈; е) 33₈; ж) 22,1₈; з) 11,25₈; и) 17₁₆; к) 1A92₁₆; л) -1,7E₁₆; м) 4BBC₁₆.

4.21. а) 11100001₂; б) 11000110,01₂; в) 1000000,101₂; г) 1001011,101₂; д) 174₈; е) 142₈; ж) 15.26₈; з) 55.2222₈.

4.22. 1111₂.

4.23. 1100111₂; 103₁₀; 147₈.

4.24. а) 1493₁₀; б) 542₁₀; в) 1420₁₀; г) 11₁₀.

4.25. а) 110010₂, 38₁₆, 74₈, 70₁₀; б) 142₈, 100₁₀, 1101001₂, 6E₁₆; в) 101111111₂, 500₁₀, 777₈, 2FF₁₆; г) 1100000₂, 60₁₆, 141₈, 100₁₀.

4.26. а) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 10000001, 10000010, 10000011; б) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 11111110, 11111101, 11111100; в) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 11111111, 11111110, 11111101.

4.27. а) 00001111; б) 10111111; в) 01000001; г) невозможно.

4.28. Обратный: а) 11110110, б) 11110000, в) 10000000, г) невозможнo. Дополнительный: а) 11110111; б) 11110001; в) 10000001; г) 10000000.

4.29. а) -8; б) -101; в) -23; г) -128.

4.30. а) -23; б) -96; в) -84; г) -127.

4.31. Обратный: а) 00000111; б) 11111000; в) 11110011; г) 11100001; д) 00011001; е) 01111110; ж) переполнение; з) 10000000; и) невозможно. Дополнительный: а) 00000111; б) 11111001; в) 11110100; г) 11100010; д) 00011001; е) 01111110; ж) переполнение; з) 10000001; и) 10000000.

Глава 4. Арифметические основы компьютеров

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману