Формула интегрирования заменой переменной

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 10Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

1. Пусть функция y y (x)монотонна на [ a, b ] и выполняются все условия указанные в теореме §2. Она непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b).

2. Тогда функция y y (x)будет иметь обратную функцию x x (y), непрерывную и монотонную на множестве значений функции y y (x), дифференцируемую во всех внутренних точках этого множества.

3. Тогда формула интегрирования подстановкой может быть записана так:

.

Замечание. Удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности, но для их преодоления необходимо знать все табличные интегралы и прекрасно владеть техникой дифференцирования.

Пример. Вычислить .

1. Пусть функция , , будет использована в качестве замены переменной. Она непрерывна и монотонна на отрезке , и дифференцируема во всех внутренних точках указанного отрезка.

2. Тогда , причем на .

3. Поэтому

= .

4. Так как , , следовательно, .

5. Так как , то .

6. Так как .

7. Поэтому , верно на любом промежутке из .

Замечание. Удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Метод интегрирования по частям

Данный метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема. Если функции u = u (x) и v = v (x) непрерывны на промежутке [ a, b ] и дифференцируемы на интервале (a, b) и функция имеет первообразную на промежутке [ a, b ], то функция имеет первообразную на отрезке [ a, b ], причем справедлива следующая формула:

или .

Доказательство

1. По правилу дифференцирования произведения двух функций на (a, b) можно записать:

.

2. Следовательно, из этого равенства можно записать

.

3. Первообразной функции на [ a, b ] будет являться функция по определению первообразной.

4. Из определения неопределенного интеграла можно записать:

.

5. По условию теоремы функция имеет первообразную на отрезке [ a, b ].

6. Следовательно, исходя из п.2 можно заключить, что будет иметь первообразную на [ a, b ], т.е. или

, или в более компактной форме

.

ч.т.д.

Замечание. Полученная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.

Примеры

1.

– , выражение справедливо на любом промежутке из ℝ..

2. , n Î N, a = const, a Î ℝ.

1) .

2) Преобразуем интеграл

.

3) Тогда

.
– рекуррентная формула для вычисления интеграла , при " n Î ℕ.

Замечание. Иногда при вычислении неопределенного интеграла методом интегрирования по частям приходится пользоваться несколько раз.

Пример. , справедливо на любом промежутке из ℝ. Интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям.

Модуль

Тема №8

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману