Вычисление определенных интегралов.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Нахождение площадей плоских фигур

Цель занятия: Овладеть приемами вычисления определенных интегралов, научиться применять определенный интеграл для вычисления площади криволинейной трапеции.

Вопросы

2. Определенный интеграл, его геометрический смысл.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Свойства и методы вычисления определенного интеграла.

Решение типовых задач

1. Вычислить определенные интегралы:

а) .

Решение. Применим метод непосредственного интегрирования:

б) .

Решение. Применим подстановку .

Найдем пределы интегрирования для переменной :

, ;

, . Следовательно,

.

в) .

Решение. Используем метод интегрирования по частям:

.

Далее, применяя формулу получаем:

Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить определенные интегралы:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Задачи на вычисление площадей

а) Вычислить площадь, ограниченную линиями

.

Решение. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле: .

.

б) Вычислить площадь, ограниченную линиями и .

Решение. Решая систему уравнений и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

Задания для самостоятельного решения

Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

ЗАНЯТИЕ 7 (4 часа)

Дифференциальные уравнения

Цель занятия: Научиться решать дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными и однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Вопросы

1. Общий вид дифференциального уравнения.

2. Общее и частное решение дифференциального уравнения.

3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

4. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение типовых задач

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

а) Решить уравнение .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Преобразуем его: .

Разделяя переменные, получим:

.

Теперь интегрируем:

,

откуда ; положим , тогда .

Общее решение будет иметь вид

.

б) Найти частное решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям при х =2.

Решение. 1) Находим сначала общее решение:

; ;

откуда .

Приняв , получим

- это общее решение данного дифференциального уравнения.

2) Найдем частное решение. Для этого вычислим при .

, откуда .

Частное решение .

Задания для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциального уравнения

1. .

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

2. , при ;

3. , при ;

4. , при .

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров