Деякі властивості кутових коефіцієнтів

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

Для прямої її кутовий коефіцієнт обчислюється за формулою:

.

Умова паралельності двох прямих:

.

Умова перпендикулярності двох прямих і :

.

Тангенс кута між двома прямими:

.

З останньої формули прямують умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(3, 1) перпендикулярно до прямої 4х + 5у – 2 = 0.

Розв’язання. Нехай - кутовий коефіцієнт даної прямої, - шуканої. Тоді:

, .

Рівняння шуканої прямої має вигляд .

Тоді:

; ;

або .

Приклад. Скласти рівняння бісектриси кута А у трикутнику АВС з вершинами А(2, 1), В(5, 5), С(14,- 4).

Розв’язання. Скористаємося тим, що бісектриса кута у трикутнику ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Обчислимо їх:

, .

Нехай - точка перетину бісектриси із стороною ВС. Тоді , ми отримуємо координати точки .

;

;

тоді рівняння бісектриси :

, або .

Воно зводиться до вигляду: .

Задача. Побудувати множину розв’язків системи лінійних нерівностей та знайти координати її кутових точок.

Декілька попередніх зауважень.

Множина точок площин, координати яких задовольняють нерівності , утворює одну з двох півплощин, на які площина ділиться прямою .Після того, як ця пряма побудована, отримаємо яку-небудь точку, що не належить прямій, та підставляємо координати цієї точки у нерівність. Якщо при цьому виходить вірна числова нерівність, значить півплощина, яка містить обрану точку, є відшуканою півплощиною, якщо ні – беремо іншу півплощину. Для нерівності все робиться аналогічно.

Множина точок площин, координати яких задовольняють декількох нерівностей першого степеня – перетин відповідних півплощин. Вона є опуклою, тобто разом із будь-якими двома точками містить і увесь відрізок, який їх з'єднує. Межа усієї площини – деяка ламана лінія, вершини якої називаються кутовими точками.

Розв'язання. Спочатку побудуємо прямі , і .

Далі підставляємо координати точки у першу нерівність . Отримуємо вірну нерівність . Заштрихуємо півплощину, що містить точку . Аналогічно виходить, що точка О(0,0) належить півплощинам, які визначаються нерівностями і . Заштрихуємо і ці півплощини. Перетин усіх заштрихованих областей дає множину розв’язків системи. Дивись рисунок.

Для знаходження координат кутової точки розв’яжемо систему рівнянь:

Користуючись, наприклад, правилом Крамера, отримаємо .

Розв’яжемо систему рівнянь:

отримаємо координати кутової точки .

							y
	-5	-4	-3	-2	-1								х
						-1
						-2
						-3
						-4

Пряма лінія у просторі

1. Параметричні рівняння: ; ; , тут - параметр; - точка, яка належить прямій; - вектор напрямку прямої.

2. Канонічні рівняння: маємо з попереднього, коли вилучаємо параметр .

Кут між двома прямими у просторі обчислюється за формулою:

Приклад. Знайти кут між прямими

і .

Розв'язання. Тут напрямні вектори і .

Підставимо координати цих векторів у формулу для , маємо:

.

Отже , або .

З формули кута між двома прямими у просторі прямують умови їх паралельності: або перпендикулярності: .

Площина

1. Загальне рівняння площини: , тут А, В, С - коефіцієнти; D - вільний член. Одночасно величини А, В, С є проекціями вектора, який перпендикулярний до даної площини, він має назву нормального вектора, і позначається .

2. Нормальне рівняння площини:

; тут - напрямні косинуси нормального вектора; р - відстань від даної точки до площини.

Друге рівняння прямує з першого, якщо кожний його член поділити на величину , котра має назву нормуючого множника.

Рівняння площини, яка має напрямний вектор і проходить крізь дану точку , має вигляд:

.

Рівняння площини, яка проходить крізь три дані точки ; ; , має вигляд:

.

Це визначник третього порядку, який треба розкрити по елементах першої строки.

Приклад. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки ; ; .

Розв'язання. Запишемо визначник з відомими координатами точок:

.

Звідси: ,

або ;

.

Розкривши дужки і скоротивши на (-2), маємо:

. Шукане рівняння.

Кут між двома площинами

Кут між двома площинами обчислюємо за методами векторної алгебри, це кут між двома нормальними векторами

і ,

отже:

Відкіля маємо умову перпендикулярності двох площин:

,

та умову їх паралельності: .

Точка перетину трьох площин

Точку перетину трьох площин знаходять за методами лінійної алгебри. Це метод Гаусса, метод Крамера, або оберненої матриці для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

Відстань від даної точки до даної площини знаходять за формулою

.

Приклад. Знайти відстань від точки М(1; 2; 3) до площини .

Розв'язання. Обчислимо відстань за даною формулою:

.

Кут між прямою та площиною обчислюємо за формулою:

,

де А, В, С, координати вектора ; - вектора .

З цієї формули маємо умову перпендикулярності прямої і площини: і умову паралельності: .

Приклад. Знайти кут між площиною і прямою .

Розв'язання. Скористаємося формулою для :

. Отже, .

Приклад. Знайти точку перетину прямої і площини .

Розв'язання. Запишемо рівняння прямої у параметричній формі: ; ; ; ,

отже: .

Підставимо ці вирази у рівняння площини:

.

Розв'яжемо останній вираз відносно . Отже .

Підставимо це значення параметру у параметричні рівняння прямої. Маємо координати шуканої точки: ; ; .

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?