Топологические понятия схемы электрической цепи

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Введем основные топологические понятия схемы электрической цепи.

Граф схемы - это такое графическое (топологическое) представление схемы, при котором ветви схемы изображаются отрезками (или дугами), а узлы - точками. Отрезки называют ветвями графа, а точки - узлами графа. Такое представление является наглядным изображением взаимных соединений ветвей схемы.

Условимся ветвь с идеальным источником тока не включать в граф схемы, так как внутренняя проводимость идеального источника тока равна нулю и соответственно сопротивление таких ветвей бесконечно велико.

Для схемы, изображенной на рисунке 3.14, граф имеет вид (рис.3.15а)

Если условные положительные направления токов в электрической схеме перенести на граф, то получим направленный граф (рис.3.15б).

На рисунке 3.16 представлены схема электрической цепи и ее направленный граф

При описании графа цепи полезно использовать понятие дерева графа.

Дерево графа - это связанная часть графа, включающая все узлы и не имеющая ни одного контура.

Дерево графа с узлами содержит () ветвь. Один и тот же граф может иметь различные деревья. Например, для графа, изображенного на рис.3.16, деревья могут принимать следующий вид

Связи графа - это ветви, дополняющие дерево до исходного графа. Число связей , где - число ветвей, - число узлов.

Законы Кирхгофа

При расчете электрических цепей используются законы Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа формулируется применительно к узлам электрической цепи и следует из принципа непрерывности электрического тока: алгебраическая сумма токов всех ветвей, имеющих общий узел, равна нулю

Принято знак “плюс” приписывать току ветви, условное положительное направление которого направлено от узла, “минус” - к узлу. Например:

Второй закон Кирхгофа формулируется применительно к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений во всех ветвях любого контура электрической цепи равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре

При использовании второго закона Кирхгофа задаются произвольным положительным направлением обхода контура. Напряжения и э.д.с., условные положительные направления которых совпадают с направлением обхода, берутся со знаком “плюс”, в противном случае напряжения и э.д.с берутся со знаком “минус”.

Особо отметим, что при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа контур может проходить не только по ветвям графа схемы, но и иметь вид, подобный указанному пунктиром на рис.3.17.

По первому закону Кирхгофа можно составить линейно независимых уравнений для узла.

По второму закону Кирхгофа число линейно независимых уравнений равно числу связей графа . Действительно, любая связь графа образует контур с ветвями дерева и каждый такой контур отличается от остальных контуров по крайней мере ветвью, образующей связь. Таким образом, число независимых контуров .

Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу ветвей графа . Если неизвестными электрической схемы являются напряжения и токи в ветвях, то для записи полной системы уравнений необходимо добавить уравнения, связывающие напряжения и токи на элементах электрической цепи (число таких уравнений равно числу пассивных элементов схемы электрической цепи).

Выражая напряжения на элементах через токи в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, получим систему уравнений относительно неизвестных токов в ветвях.

При расчете электрической цепи с зависимыми источниками уравнения формируются в два этапа:

· составляются уравнения цепи в предположении, что все источники независимые;

· слагаемые уравнений, соответствующие зависимым источникам, выражаются через управляющие токи и напряжения.

Пример. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях электрической схемы (рис.3.16), считая известными параметры элементов схемы , , , , .

Граф этой схемы имеет вид

Число узлов = 5, число ветвей

= 7.

Число уравнений по первому закону Кирхгофа . Для узлов с первого по четвертый имеем:

1

2

3

4

Число независимых контуров = 3 равно числу связей. Выберем независимые контуры, каждый из которых образован одной связью (тонкие линии на рисунке графа) и ветвями дерева (утолщенные линии). Направления обхода контуров примем совпадающими с условными положительными направлениями токов в связях. Выражая напряжения на отдельных элементах цепи через токи ветвей, получим три уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа:

Решая полученную систему из семи уравнений, можно определить токи во всех ветвях схемы.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману