Полный и развернутый ответ с доказательствами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 14Следующая ⇒

Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Эти свойства связаны с понятием центрального проектирования.

Рассмотрим в Евклидовом пространстве Е₃ 2 плоскости π и σ, точку О не лежащую в этих плоскостях. Пусть М – произвольная точка, принадлежащая π. Точка М´ пересечения прямой ОМ с плоскостью σ называется проекцией точки М на плоскость σ из центра О. Точке М, принадлежащей π, поставим в соответствии её проекцию М^’ на плоскость σ из центра О.

Таким образом установленное соответствие между точками плоскостей π и σ называется центральным проектированием плоскости π на плоскость σ из центра О. Аналогично определяется и проекция фигуры.

При центральном проектировании многие свойства фигуры искажаются: меняется длина отрезка, величины углов, параллельные прямые проектируются в пересекающиеся прямые, проектируя параллелограмм можно получить произвольный четырёхугольник. Более того, проектируя отрезок, можно получить луч.

Но есть и ряд свойств, которые сохраняются при любом центральном проектировании. Эти свойства Понселе и назвал проективными. Такими свойствам является, например, свойство точек лежать на одной прямой или на одной ЛВП. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не является проективным.

Свойства, связанные с длинами отрезков и величин углов, также не являются проективными.

Значительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов.

Дополним пространство Е₃ новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства - несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью.

Взаимное расположение расширенных прямых и

плоскостей.

1. Любые 2 прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку.

2. Любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку.

3. Любые 2 плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую.

Сформулируем понятие проективного пространства.

Пусть V – векторное пространство n+1 измерений над компонентом R. – множество всех ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество Р называется проективным пространством n-измерений, если задано отображение f: →P, удовлетворяющее следующим свойствам (аксиомам проективного пространства):

1) f – сюрьективно,

2) f(х)=f(у) ↔ и компланарны.

Элементы множества Р называются точками проективного пространства.

Зададим проективный репер на плоскости и прямой.Пусть σ – проективная плоскость. Упорядоченная система точек А₁, А₂, А₃, Е общего положения плоскости σ называется проективным репером, А_i – вершины репера, Е – единичная точка, А_i А_j – координатные прямые. Если векторы а₁, а₂, а₃, е порождающие вершины и единичную точку проективного репера выбраны таким образом, что е=а₁+а₂+а₃, то будем говорить, что система векторов согласована относительно репера R (рис. 5).

Введём понятие координат точек на проективной плоскости.

Пусть Х – произвольная точка плоскости σ, на которой задан проективный репер R. Рассмотрим какой-либо вектор х, порождающий точку Х и согласованную систему векторов. Примем векторы а₁, а₂, а₃ за базис векторного пространства, разложим вектор х по базису х=х₁ а₁+х₂ а₂+х₃ а₃.

Тогда точка Х имеет следующие координаты Х(х₁, х₂, х₃)_R.

рис. 5

Утверждение: Проективные координатные точки х зависят от выбора как вектора х, так и системы векторов а₁, а₂, а₃, е, согласованной относительно репера R (т.е. заданием проективного репера координаты произвольной точки плоскости σ определяется с точностью до общего множителя).

Теорема: Три точки Х(х₁, х₂, х₃), Y(y₁, y₂, y₃), Z(z₁, z₂, z₃), заданные кординатами в репере R, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Вершины и единичная точка репера имеют координаты:

А₁(1,0,0), так как а₁=1*а₁+0*а₂+0*а₃

А₂(0,1,0), так как а₂=0*а₁+1*а₂+0*а₃

А₃(0,0,1), так как а₃=0*а₁+0*а₂+1*а₃

Е (1,1,1), так как е=1*а₁+1*а₂+1*а₃

Из теоремы следует, что точка Х(х₁, х₂, х₃) лежит на координатной прямой А₁А₂ тогда и только тогда, когда координаты точек удовлетворяют равенству:

, то есть х₃=0 и координаты точки Х(х₁, х₂, 0).

Аналогично определяются и координаты точек на проективной прямой. Изображение проективного репера на прямой дано на рис. 6.

рис. 6

Рассмотрим на плоскости проективный репер R=(А₁, А₂, А₃, Е). Пусть Х – произвольная точка плоскости, отличная от А₃, а Х₃=А₂А₁∩ХА_3. Точка Х₃ называется проекцией точки Х на прямую А₁ А₂ из центра А₃. Проекции каждой точки прямой А₁ А₂ совпадают с самой точкой (рис.7).

рис. 7

Обозначим через Е₃ проекцию единичной точки репера R из центра А₃ на прямую А₁А_2. Упорядоченная система точек (А₁,А₂, Е₃) на прямой А₁ А₂ образует проективный репер, который будем обозначать R₃. Аналогично вводим R₁ и R₂. Отсюда следует, если на плоскости задан репер R, то на каждой из координатных прямых возникает свой репер.

Теорема: Если произвольная точка Х плоскости, отличная от А₃ в репере R имеет координаты (х₁, х₂, х₃),то проекция Х₃ точки Х из центра А₃ на А₁ А₂ в R имеет координаты (х₁ , х₂)

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии