Понятие об изогональных траекториях.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Задача. Пусть на плоскости XOY задано однопараметрическое семейство кривых

(I) - . Найти уравнение семейства кривых (II) пересекающих кривые первого семейства под заданным постоянным углом . Семейство (II) называют изогональным семейству (I).

Решение.

Выведем д.у. первого семейства также как это делалось выше. Мы получим:

Пользуясь определением изогональности найдем связь между угловыми коэффициентами касательных и кривых семейств I и II в точках их пересечения. Пусть , и пусть X и Y координаты точек кривых семейства II. По формуле угла между 2-мя прямыми на плоскости получим:

Подставляя последние выражение в д.у. семейства кривых I получим д.у. искомого семейства II:

Интегральные кривые этого д.у. и будут искомыми изогональными кривыми.

Если то траектории называют ортогональными. В этом случае зависимость между и будет наиболее простой: , и, т.о. д.у. семейства ортогональных кривых запишется в виде: .

Пример. Найти ортогональные траектории к семейству парабол . Исключая С из системы получим тогда д.у. семейства ортогональных траекторий

интегрируя почленно, получим

-семейство подобных эллипсов.

Сказанное выше относится и к уравнениям вида:

(*)

но с небольшими дополнениями. Во-первых, (*) может иметь несколько решений, относительно :

(**)

и т.д.

Теорема Коши в отношении каждого уравнения обуславливает единственность и существование интегральной кривой, проходящей через . Поэтому, для (*) при выполнении дополнительного условия

через любую , в которой выполнены условия теоремы Коши для (*), проходит столько кривых, сколько решений имеет (*). Для (*) общее решение также зависит от одной константы:

Иногда, решение д.у. приводит к выражениям вида:

не разрешенных относительно y. Такое соотношение называют общим интегралом д.у.

Пример.

будет удовлетворено, если - общий интеграл.

- общее решение. Семейство изоклин для (*), найдем из соотношения , где

Особые точки и особые решения д.у..

Теорема Коши гарантирует существование решения д.у. , проходящего через , если:

a) непрерывна и б) - существует и ограничена.

Нарушение хотя бы одного условия может привести к тому, что решение может не существовать, либо оно может быть неединственным. Если теорема Коши нарушается только в отдельных изолированных точках, то они называются особыми точками д.у.. Поведение интегральных кривых в окрестности особых точек может быть различным (непредсказуемым).

Если же нарушение условий теоремы Коши имеет место вдоль некоторой кривой, то она может оказаться интегральной кривой данного д.у.. Такую интегральную кривую называют особой, а соответствующее решение – особым решением.

Опр. Решение д.у. первого порядка называется особым, если через любую точку его интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая того же д.у., имеющая в этой точке ту же касательную.

Особое решение, как правило, в общем решении не содержится, т.е. не может быть получено ни при каком выборе константы

Пример. - общее решение , проверяется подстановкой. Условия теоремы Коши нарушены на y=0 т.к.

Легко видеть, что y=0 – интегральная кривая, причем особая, т.к. через каждую ее точку проходит входящая в общее решение , касательной к которой служит y=0. Прямую же y=0 ни при каком С не получим.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности