Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Основные понятия

Сведения из теории

Общий вид линейного однородного уравнения n -го порядка

Теорема. Если – линейно независимые частные решения уравнения, то есть общее решение этого уравнения, где – произвольные постоянные величины. Совокупность n линейно независимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений.

Для нахождения общего решения уравнения как линейной комбинации частных решений с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение n -ой степени:

.

Решив его, получим n корней: . В случае различных корней фундаментальная система решений имеет вид: .

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Второго порядка

Сведения из теории

Уравнение вида

называется линейным однородным уравнением второго порядка. Коэффициенты – действительные числа.

Линейные однородные уравнения обладают следующим свойством:

линейная комбинация решений линейного однородного уравнения также является решением этого уравнения. Если – частные решения, то , где – любые числа, тоже решение данного уравнения. Но для того, чтобы из частных решений и можно было сформировать общее решение, нужно чтобы функции и были линейно независимы, то есть для них невозможно записать равенство , где – некоторое число, отличное от нуля.

Система линейно независимых частных решений и называется фундаментальной системой решений уравнения. Общее решение уравнения имеет вид , где – фундаментальная система решений, а – произвольные постоянные.

Дифференциальному уравнению второго порядка можно поставить в соответствие алгебраическое уравнение второй степени с теми же коэффициентами

.

Уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения.

Если при решении характеристического уравнения получим , то есть два действительных и различных корня , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и . При эти функции нельзя связать равенством , где . Следовательно, эти функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения. Тогда его общее решение будет иметь вид

,

где и – произвольные постоянные.

Если для уравнения , то есть , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и , а его общее решение имеет вид .

Если же для уравнения , то оно имеет комплексно сопряженные корни , тогда фундаментальную систему решений уравнения образуют функции и , а общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши.

.

◄ Составим характеристическое уравнение: . ; , . Итак, его корни , действительны и различны. Следовательно, общее решение

,

а значит . В два последних равенства подставим начальные условия и получим систему уравнений относительно и :

откуда находим . Таким образом, решение задачи Коши имеет вид .►

2. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение , откуда – корень кратности 2.

– общее решение. ►

3. Решить уравнение .

◄ Решим характеристическое уравнение . . , . Фундаментальная система решений: ; .

– общее решение. ►

4. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение . Откуда или . Корни уравнения: , . Поэтому фундаментальная система решений:

; ; .

Общее решение .►

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности