Теорема Коши-Пикара для ДУ-1-ПРОП. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

- уравнение (1). - задача Коши (2)

Теорема Коши-Пикара: пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица , то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, , где , .

Доказательство:

Утверждение 3: при существует , и - непрерывная функция.

Доказательство: при имеем функциональный ряд, причем . Если доказать, сходимость к , то будет доказано и утверждение.

Оценим: ,

Предположим, что и докажем, что

, т.к. , тогда каждый член ряда по модуля меньше соответствующего элемента числового ряда , он сходится по признаку Даламбера: . Таким образом, сходится равномерно по признаку Вейерштрасса для любого . Каждый член ряда непрерывная функция, следовательно, также непрерывна.

Теорема Коши-Пикара для ДУ-1-ПРОП. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.

- уравнение (1). - задача Коши (2)

Теорема Коши-Пикара: пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица , то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, , где , .

Доказательство:

Утверждение 4: - решение задачи Коши (2) для уравнения (1).

Доказательство:

. Таким образом, надо доказать, что . Выпишем достаточное условие сходимости:

Условие равномерной сходимости :

, тогда и оба неравенства выполняются.

Теорема Коши-Пикара для ДУ-1-ПРОП. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.

- уравнение (1). - задача Коши (2)

Теорема Коши-Пикара: пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица , то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, , где , .

Доказательство:

Утверждение 5: - единственное решение задачи Коши (2) для уравнения (1)

Доказательство: пусть существует , и в подынтервале .

, однако, в то же время это равно:

Таким образом , значит, . Т.к. - любое число, положим его и тогда предположение неверно.

Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.

Последовательность пикаровых приближений равномерно сходится к точному решению. Насколько хорошо -ое приближение аппроксимирует точное решение?

, . Методом матиндукции можно показать, что

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США