Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Пусть имеем уравнение

, (68)

где р и q — действительные числа.

В предыдущем пункте был указан общий метод нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоян­ными коэффициентами частное решение иногда возможно найти проще, с помощью метода подбора частного решения (метод неопределен­ных коэффициентов). Этот метод применим только в том случае, когда пра­вая часть уравнения имеет следующий вид:

. (69)

Здесь α и β — постоянные, Р_п (х)и Q_m (х)— многочлены от х соответственно п- йи т- йстепени, тогда частное решение уравнения следует искать в виде

Здесь r равно показателю кратности корня в характеристическом уравнении

(если характеристическое уравнение та­кого корня не имеет, то следует положить r = 0); R_l (х)и T_l (x)— полные мно­гочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, причем l равно наибольшему из чисел п и т

().

Подчеркнем, что многочлены R_l (х)и T_l (x)должны быть полными (т. е. содержать все степени х от нуля до l), с различными неопределенными коэффициентами при одних и тех же степенях х в обоих многочленах и что при этом, если в выражение функции f (х) входит хотя бы одна из функций cosβx или sinβx, то в и (х)надо всегда вводить обе функции.

Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгеб­раических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него и (х)вместо у.

Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопо­ставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки и (х).

На практике приходится сталкиваться с частными случаями функции f (x) рассматриваемой структуры. Перечислим их:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

В качестве пояснения рассмотрим первый частный случай – правая часть уравнения имеет вид . Тогда возможны следующие случаи:

а) Число α не является корнем характеристического уравнения . Тогда частное решение нужно искать в виде

. (70)

Дифференцируя, имеем:

Подставляя полученные выраженияв уравнение (68) и сокращая все члены на множитель е^kх,будем иметь:

. (71)

— многочлен степени п, — многочлен степени п- 1, — многочлен степени п- 2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены п- й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэф­фициентов равно п +1), получим систему п +1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов А ₀, А ₁, А ₂,..., А_п.

б) Число α есть простой (однократный) корень ха­рактеристического уравнения.

Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме (70), то в равенстве (71) слева получился бы многочлен (п 1)-й степени, так как коэффициент при т. е. a ² + pa + q, равен нулю, а многочлены и имеют степень, меньшую чем п. Следовательно, ни при каких А ₀, А ₁, А ₂,..., А_п равенство (71) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена (п +1)-й степени, но без свободного члена (так как свободный член этого многочлена исчезнет при дифференцировании):

.

в) Число α есть двукратный корень характеристического уравнения. Тогда в результате подстановки в дифференциальное уравнение функции степень многочлена понижается на две единицы. Действительно, если а — корень характеристического урав­нения, то кроме того, так как а является двукратным корнем, то 2 α = - р (так как по известной теореме элементарной алгебры сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с обрат­ным знаком). Итак, 2а+ р= 0.

Следовательно, в левой части равенства (71) останется , т.е. многочлен (п -2)-й степени. Для того чтобы в результате подста­новки получить многочлен степени п, следует частное решение искать в виде произведения е^ах на многочлен (п + 2)-й степени. При этом свободный член этого многочлена и член в первой сте­пени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно не вклю­чать в частное решение.

Итак, в случае, когда а является двукратным корнем характеристического уравнения, частное решение можно брать в форме

.

Аналогичные рассуждения могут быть представлены при рассмотрении остальных частных случаев функции f (x).

Пример 1. Решить уравнение

○ Т.к. корни характеристического уравнения , то общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Правая часть уравнения имеет вид Р ₁(х)· е ^{1 ·х} , причем коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение ищем в виде . Дифференцируя, получим:

Подставляя эти выражение в уравнение, будем иметь:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,получим:

откуда А =- 1/10, В = 9/25. Следовательно, частным решением является

,

а общим

Пример 2. Решить уравнение

у" + 4 у = cos 2 х.

○ Характеристическое уравнение имеет корни ; поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

у*= .

Тогда

у*'= ,

y*"= .

Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и прирав­нивая коэффициенты при cos 2 x и sin 2 x, получаем систему уравнений для определения А и В: 4 В = 1, - 4 А =0, откуда А = 0, В = 1/4. Таким обра­зом, общий интеграл данного уравнения:

.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач требуется найти функции у ₁= у ₁(х), у ₂= у ₂(х),…, у_п = у_п (х),которые удовлетворяют системе диффе­ренциальных уравнений, содержащих аргумент х,искомые функции у ₁, у ₂ , …, у_п и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

(72)

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной. Ограничимся рассмотрением систем такого вида.

Проинтегрировать систему - значит определить функции у ₁, у ₂, …, у_п, удовлетворяющие системе уравнений (72) и данным на­чальным условиям:

(73)

Рассмотрим нормальную систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями: х = х (t), у = у (t), z = z (t).

(74)

Зададим начальные условия: .

Интегрирование нормальной системы проведем на примере системы (74).

Дифференцируем по t первое из уравнений (74):

Заменяя производные их выражениями f ₁, f ₂и f ₃из уравнений (74), будем иметь уравнение

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:

Итак, мы получаем следующую систему:

(75)

Из первых двух уравнений определим функции у = у (t), z = z (t), выразив их через х, t и производные :

(76)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (75), получим уравнение 3-го порядка для определения х = х (t):

. (77)

Решая это уравнение, определим х (t):

. (78)

Дифференцируя последнее выражение 2 раза, найдем произ­водные как функции от t, С ₁, С ₂, С ₃.

Подставляя эти функции в уравнения (76), определяем у (t), z (t):

(79)

Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным началь­ным условиям, остается лишь найти из уравнений (78) и (79) соот­ветствующие значения постоянных С ₁, С ₂, С ₃(подобно тому, как мы это делали в случае одного дифференциального уравнения).

Интегрирование системы (72) происходит по аналогичной схеме. В результате получим одно дифференциальное уравнение п -го порядка. Рассмотренный метод решения нормальных систем называется методом исключения.

Сформулируем теорему Коши для нормальной системы, взяв в качестве примера систему (74).

Пусть функции , i =1, 2, 3 непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеют в этой области непрерывные частные производные: . Тогда каковы бы ни были значения существует единственное решение системы , удовлетворяющее начальным условиям .

Пример. Проинтегрировать систему:

(а)

при начальных условиях

. (б)

○ 1). Дифференцируя по х первое уравнение, будем иметь:

.

Подставляя сюда выражения и из уравнений (а), получим:

или

. (в)

2). Из первого уравнения системы (а) находим

(г)

и подставляем в только что полученное уравнение; получаем:

или

. (д)

Общее решение последнего уравнения есть

(е)

и на основании (г)

. (ж)

Подберем постоянные С ₁ и С ₂ так, чтобы удовлетворялись начальные условия (б): . Тогда из равенства (е) и (ж) получаем:

1= С ₁ - 9, 0 = С ₂ - 2 С ₁ + 14,

откуда С ₁= 10, С ₂= 6. Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (б), имеет вид

.●

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?