Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения и неразрывности

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 19Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Согласно основной идее метода конечных разностей, непрерывные пространственные переменные х и у заменяются на ряд дискретных узлов с координатами:

по х: х₁, х₂, х₃, …, х_i, …, х_N

по y: y₁, y₂, y₃, …, y_j, …, y_M.

Расстояние между соседними узлами называется шагом: и .

В соответствии с этой заменой получаем разностную сетку как показано на рис. 7.2.

На рис. 7.2 вместо координат узлов х₁, х₂, … и y₁, y₂, … условно приведены только номера узлов 1, 2, … Дискретные величины скорости и температуры определяются на пересечении координат и . Эти дискретные величины называются сеточными функциями точного решения.

Математическая сущность метода конечных разностей заключается в том, что интегрирование дифференциальных уравнений (7.1-7.2) заменяется решением системы алгебраических уравнений для отдельных узлов. Эта замена вносит погрешность в определение функции скорости и поэтому в дальнейших рассуждениях переходят от сеточной функции точного решения к сеточной функции приближенного решения:

; ; .

Рис. 7.2. Разностная сетка для расчета пограничного слоя

Теперь еще до составления разностных схем условимся, что составляющую скорости по оси х будем определять из уравнения движения, а по оси у – из уравнения неразрывности.

Есть две формы аппроксимации дифференциального уравнения движения: по явной и неявной схеме.

Я вная схема для узла с координатами ij имеет вид:

. (7.8)

Отсюда легко (в явном виде) выражается через известные скорости на текущем шаге "i".

Схема условно устойчива. Условие устойчивости напоминает подобное условие для уравнения теплопроводности и имеет вид:

или . (7.9)

Если сравнивать схему (7.8) со схемами аппроксимации уравнения теплопроводности, то можно заметить, что в данном случае мы находим изменение функции (скорости) не во времени, а в пространстве – вдоль оси х.

Явная схема (7.8) может быть значительно усилена, если первые сомножители в слагаемых левой части отнести не к текущему "i"-му узлу, а к промежуточному "i+1/2"-узлу:

. (7.10)

Правда, в этом случае придется включать в решение итерационный алгоритм, т.е. каждый расчет должен включать в себя ряд последовательных уточнений , , а также где K – номер итерации. При K=1 предполагается, что и . В дальнейшем эти величины уточняются в зависимости от скорости , выражаемой из (7.10):

. (7.11)

Итерационные уточнения заканчиваются при выполнении приближенного равенства (7.12)

Аппроксимация дифференциального уравнения движения по неявной схеме подобна явной за одним отличием: и отнесены не к текущему i-му узлу, а к последующему - "i+1"-му.

. (7.13)

Неявная схема (7.13) безусловно устойчива и потому получила наибольшее распространение. Тем более, что эта схема позволяет при расчетах использовать высокоэффективный метод прогонки (см. разд. 5.3.1).

Явная и неявная схемы имеют первый порядок точности по x и 2-й порядок по у. С целью повышения порядка точности по x до второго может быть применена комбинированная схема

(7.14)

При =0 имеем неявную схему, при =1- явную и при =0,5--схему Кранка-Николсона. Схема Кранка-Николсона рекомендуется к применению в 1-ю очередь, т.к. она безусловно устойчива и имеет 2-й порядок точности по х и по у.

Вместе с уравнением движения следует рассматривать и уравнение неразрывности. Конечно, его можно аппроксимировать относительно узла с координатами и в таком простом виде:

Однако это будет неточно. Обычно производную представляют в виде полусуммы "разностей вперед". В этом случае я вная схема имеет вид

(7.16)

Отсюда легко находится значение при известных значениях и, предварительно определенных из уравнения движения.

Н еявная схема аппроксимации уравнения неразрывности более точная и поэтому явная схема обычно не используется. Принципиаль-аых отличий неявная схема имеет немного:

(7.17)

Алгоритм расчета и по явной и по неявной схеме строится "от стенки", т.е. при известном поле "и" и при известном значении "V" на стенке (из граничных условий) из (7.16) или (7.17) легко выражается значение "V в следующем узле от стенки. По найденному значению "V определяется из (7.16) или (7.17) значение "V в еще более дальнем от стенки узле и т.д., пока не будут определены все значения "V поперек потока.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте