Метод простой итерации (метод Якоби).

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу , вектор системы (2.1) и , приводит к новому вектору :

, (2.11)

Затем процесс повторяется, только вместо используется новое значение . На -м шаге итерационного процесса по получают:

, (2.12)

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A, т.е. при:

, (2.13)

Заданная точность достигается при выполнении условия:

(2.14)

Пример 2.5. Преобразовать систему уравнений:

(2.15)

к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации.

Решение. Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

В -ом уравнении все члены, кроме , переносятся в правую часть:

(2.16)

Задается начальное приближение , которое подставляется в правую часть. Обычно , , и получают результаты первой итерации:

Результаты первой итерации подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:

Результаты второй итерации подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:

Определяют достигнутую точность

Пример 2.6. Решить систему уравнений методом Якоби с помощью программы Excel с точностью :

Порядок решения.

1) Представить систему в виде (2.16);

2) Ввести в ячейки A1:G1, D2:G2 заголовки столбцов (рис. 2.4);

3) В ячейки A2:C2 – начальное приближение 0, 0, 0;

4) В ячейку A3 – формулу =(7-4*B2+C2)/7

5) В ячейку B3 – формулу =(-2-2*A2-3*C2)/6

6) В ячейку C3 – формулу =(4+A2-B2)/4

7) В ячейку D3 – формулу погрешности =ABS(A3-A2)

8) Выделить ячейку D3 и скопировать формулу в соседние ячейки E3:F3 при помощи маркера заполнения;

9) В ячейку G3 – формулу максимальной погрешности =МАКС(D3:F3)

10) Выделить ячейки A3:G3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:G4, A5:G5 и т.д.при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения;

11) Ячейки A15, B15, C15 содержат решение системы уравнений, соответствующее заданной точности (G15).

Приближенное решение системы с точностью :

, ,

Метод Зейделя.

Вычисления в этом методе почти такие же, как и в методе Якоби, с той лишь разницей, что в последнем новые значения не используются до новой итерации. В методе Зейделя при нахождении -ой компоненты используются уже найденные компоненты этой же итерации с меньшими номерами, т.е. последовательность итераций задается формулой:

, (2.17)

Сходимость и точность достигаются условиями (2.13) и (2.14).

Пример 2.7. Задать итерационный процесс Зейделя для нахождения решений системы уравнений (2.15).

Решение. Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

Используя (2.16) получим:

После задания начального приближения, например, выражение для первой итерации имеет вид:

Результаты первой итерации подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:

Результаты второй итерации подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:

Погрешность решения:

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США