Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Предел и производная функции одной переменной.

Задание 1. Дана система линейных уравнений

Решить двумя способами: 1) методом Крамера; 2) методом матричного исчисления.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Задание 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) площадь грани ;

4) объем пирамиды ;

5) уравнение прямой ;

6) уравнение плоскости ;

Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.	а) ; б) ; в) ; г) .
2.	а) ; б) ; в) ; г) .
3.	а) ;б) ;
	в) ; г) .
4.	а) ;б) ; в) ; г) .
5.	а) ;б) ; в) ; г) .
6.	а) ;б) ; в) ; г) .
7.	а) ;б) ; в) ; г) .
8.	а) ;б) ; в) ; г) .
9.	а) ;б) ; в) ; г) .
10.	а) ;б) ; в) ; г) .   Задание 4.Найти производные данных функций.   1. а) , б) , в) . 2. а) , б) , в) . 3. а) , б) , в) . 4. а) , б) , в) . 5. а) , б) , в) . 6. а) , б) , в) . 7. а) , б) , в) . 8. а) , б) , в) . 9. а) , б) , в) . 10. а) , б) , в) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.2.-M.: Наука, 1985.- 560с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1976.- 200с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1.-M.: Наука, 1985.- 456с.

4. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c.

Контрольная работа № 2.

Приложение производной. Интегралы.

Задание 1. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. a) , б) .

2. a) , б) .

3. a) , б) .

4. a) , б) .

5. a) , б) .

6. a) , б) .

7. a) , б) .

8. a) , б) .

9. a) , б) .

10. a) , б) .

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы.

1.	а) ; б) ; в) ; г) .
2.	а) ; б) ; в) ; г) .
3.	а) ; б) ;
в) ; г) .
4.	а) ; б) ; в) ; г) .
5.	а) ; б) ; в) ; г) .
6.	а) ; б) ; в) ; г) .
7.	а) ; б) ; в) ; г) .
8.	а) ; б) ; в) ; г) .
9.	а) ; б) ; в) ; г) .
10.	а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. Сделать чертеж.

1.   2.   3.   4.   5.     6.   7.   8.   9.   10.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1.-M.: Наука, 1985.- 456с.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c.

Методические указания к выполнению контрольной работы №1

Матрицы и их приложения

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел

,

имеющая строк (одинаковой длины) и (одинаковой длины) столбцов.

Элементы матрицы снабжаются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Если матрица имеет строк и столбцов, то матрицу называют квадратной.

Матрицы одинакового размера можно складывать. При этом суммой матриц и называют матрицу , для которой .

Например,

.

Произведением матрицы на число называют матрицу , каждый элемент которой . Например,

.

Задача. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицы: a) , б) .

Решение. а) ; ;

;

б) ; ;

;

Произведением матрицы размером на матрицу размером называют матрицу C размером , каждый элемент которой

, где ; .

То есть элемент – ой строки и – го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов – ой строки матрицы на соответствующие элементы – го столбца матрицы .

Если определено произведение ,то это не значит, что определено произведение . Это произведение может не иметь смысла. Если выполняется , то матрицы называются перестановочными, или коммутирующими. Отметим сразу же, что обычно .

Задача. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицу .

Решение.

.

.

Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Каждой квадратной матрице соответствует определитель . Оказывается, что если , то . Так как , то .

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие .

Алгебраическим дополнением элемента называется произведение числа на определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, определитель

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ; .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то обратную матрицу строят следующим образом:

1) находят все алгебраические дополнения;

2) составляют матрицу алгебраических дополнений ;

3) транспонируют матрицу B и умножают на число .

Полученная матрица и будет обратной матрицей.

Задача. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Положим, что

; ; .

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид

. (10)

Найдем определитель матрицы :

.

Так как , то существует обратная матрица . Умножая слева на матрицу равенство (10), получим, что или . Найдем обратную матрицу :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Обратная матрица .

Но тогда .

Ответ:

Элементы векторной алгебры

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности