Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Картан, Анрі (нар. 1904) французький математикСодержание книги Поиск на нашем сайте
А математику ще й тому вивчати слід, що вона розум до ладу приводить. Ломоносов М.В. (1711-1765) –вчений-енциклопедист, поет Жодне технічне вдосконалення неможливе без складних розрахунків. Але так само важко уявити розвиток будь-якої науки, включаючи суспільні, без використання досягнень сучасної математики і кібернетики. Математика, все глибше проникаючи в суміжні з нею і віддалені науки, стає непохитною опорою прогресу людських знань. Митропольський Ю.О, (нар. 1917) – український математик У вивчення природи математика робить найбільший вклад, бо вона розкриває впорядкований зв’язок ідей, за яким побудований Всесвіт. Прокл (410-485)-грецький філософ Тим, хто не знає математики, важко збагнути справжню, глибоку красу природи Фейнман Р. (нар. 1918) – американський фізик
І.Функції багатьох змінних
Числові множини, способи їх задання. Побудова області на площині
Числова множина – це множина, елементами якої є числа. Відомо, що N, Z, Q, I, R – множини натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних та дійсних чисел. Їх прийнято зображати у вигляді точок на числовій осі. Якщо елементами множини є впорядкована пара чисел, то маємо множину точок М(х,у) на площині ХОУ, така множина позначається R2. У випадку, коли елементами множини є впорядковані трійки чисел, то маємо множину точок М(x,y,z) у просторі, яка позначається R3. Часто доводиться розглядати впорядковані набори більшої кількості чисел. Наприклад, якщо х і у – координати точки місцевості, z – висота над рівнем моря в цій точці, t – температура, p – атмосферний тиск, g - відносна вологість повітря, v – величина швидкості вітру, a - напрям вітру, то впорядкований набір із восьми чисел (x, y, z, t, p,g, v, a) характеризує метеорологічний стан в даній місцевості. У загальному випадку впорядкований набір із n чисел (х1, х2, …, хn) по аналогії із n=2, n=3 теж зручно називати точкою, а множина точок М(х1, х2, …, хn) утворює n-вимірний арифметичний простірRn. Дві точки M1(x1',x2',…,xn') і M2(x1'',x2'',…,xn'') збігаються між собою, якщо x1'= x1", …, xn'= xn". Відомо, наприклад, що для двох точок М1(x1,y1,z1) і М2(x2,y2,z2) із простору R3 величина
є відстанню між цими точками. Подібним чином для двох точок М1 і М2, які належать Rn, величину
теж називають відстанню між точками М1 і М2. Окремі числові множини, як правило, задаються за допомогою нерівностей. Якщо всі нерівності строгі (<; >), то множина називається відкритою. Наприклад, інтервал: (a,b) = { x: a < x < b}; відкритий прямокутник: (a,b; c,d) = {(x,y): a<x<b, c<y<d}; відкритий паралелепіпед: (a,b; c,d; e,p) = {(x.y,z): a<x<b; c<y<d; e<z<p}. У загальному випадку можна говорити про відкритий n- вимірний паралелепіпед: (a1,b1; a2,b2; … an,bn ) = {(x1, x2, … xn): a1<x1<b1; a2<x2<b2; … an<xn<bn }. Cеред числових множин, які задаються нерівностями, часто зустрічаються також: (x-x0 )2 + (y-y0 )2 < r2 - відкритий круг у просторі R2 радіуса r з центром в точці М0 (x0 , y0 ); (x-x0 )2 + (y-y0 )2+ (z-z0 )2 < r2 - відкрита куля у просторі R3 радіуса r з центром в точці М0 (x0 , y0,z0 ); (x1-x10)2 + (x2-x20)2 + … + (xn-xn0)2 < r2 - відкрита куля в просторі Rn радіуса r з центром в точці М0 (x01 , х02, …, х0n ). Означення 1.1. Околом точки називається довільна відкрита множина, яка містить дану точку. У двовимірному випадку під околом точки
Означення 1.2. Множина точок називається зв'язною, якщо дві точки цієї множини можна з'єднати ламаною лінією, всі точки якої належать цій множині.
Означення 1.3. Точка М називається внутрішньою точкою множини D, якщо вона належить D разом з її достатньо малим околом.
Означення 1.4. Зв'язна множина, яка цілком складається із внутрішніх точок, називається областю. Означення 1.5. Граничною точкою області D називається точка, в будь-якому околі якої знаходяться точки, які як належать області D, так і не належать їй. Означення 1.6. Множина граничних точок області D називається її границею Г.
Означення 1.7. Область D разом з її границею Г називається замкненою областю D (позначається Посилаючись на геометричну інтуіцію, можна сказати, що якщо з геометричного тіла зідрати його границю, то отримаємо відкриту множину. На рисунку 1.1. точка М0 (x0 , y0 ) – внутрішня точка області D, точка М1 належить границі Г області D. Область D – відкрита, а область
Рис. 1.1.
На рисунку 1.1. окіл точки М0 (x0 , y0 ) зображений в вигляді круга і квадрата. Наприклад, замкнені області: сегмент: [a, b] = замкнений прямокутник: [a, b; с, d] = замкнений круг радіуса r з центром в точці М0 (x0, y0 ):
замкнений трикутник:
Таким чином, в замкнених областях обмеження задаються нестрогими нерівностями В подальшому для наочності будемо вивчати числову множину R2, тобто сукупність точок на площині. Для побудови області на площині треба знайти такі точки М(x,,y), координати яких задовольняли б нерівностям, які задають множину. Приклад 1.1. Побудувати область D на площині, яка задана нерівностями:
Даним нерівностям задовольняють координати точки, яка знаходиться всередині або на границі прямокутника, сторони якого лежать на прямих х = 2; х = 6; y = -1; y = 2. Цей прямокутник є замкненою областю (рис. 1.2)
Рис 1.2.
Приклад 1.2. Побудувати область D, яка задана нерівностями: 4 < x2 + y2 < 9. Даним нерівностям задовольняють координати точок, які знаходяться всередині кругового кільця, обмеженого колами x2 + y2 = 4 та x2 + y2 = 9 з центрами в точці О(0, 0) та радіусами r1 = 2, r2 = 3. Таким чином, це кругове кільце – відкрита область D (рис. 1.3).
Рис. 1.3.
Приклад 1.3. Побудувати область D, задану нерівностями 0 < y < x В даному випадку маємо відкриту область D, яка обмежена прямими y = x та y = 0 (рис. 1.4.). Геометрично – це всі точки, що знаходяться внутрі кута. Точки, що розміщені на сторонах кута області D не належать, тому на рис.1.4 сторони кута зображені пунктиром. Розглянемо важливий випадок, коли область на площині задається лінійними нерівностями. Нехай маємо лінійну нерівність з двома змінними x, y: ax + by + c > 0 (1.1) Якщо x, y розглядати як координати точок на площині, то множина точок, координати яких задовольнюють (1.1), називається областю розв'язків цієї нерівності. Областю розв'язків (1.1) є півплощина.
Рис.1.4. Щоб дізнатись, яка з двох напівплощин відповідає нерівності (1.1), треба взяти пробну точку, яка не лежить на прямій ax + by + c = 0, наприклад, М0 (x0 , y0 ), підставити її координати в нерівність (1.1). Якщо нерівність (1.1) виконується, то точка М0 (x0 , y0 ) належить шуканій півплощині, якщо не виконується, то це друга півплощина. Коли пряма не проходить через початок координат, то зручно пробною точкою взяти початок координат О(0, 0). В випадку, коли задана система із m нерівностей:
a1 x + b1 y + c1 > 0, a2 x + b2 y + c2 > 0, (1.2.) ............... am x + bm y + cm > 0.
то геометрично отримаємо перетин півплощин, які можуть утворити многокутну область D. Така область називається областю розв'язків системи (1.2.). Ця область не завжди буває обмежена, вона може бути і необмеженою, і навіть порожньою. Останній випадок має місце, коли система нерівностей (1.2.) суперечлива. Область розв'язків системи нерівностей є опуклою, тобто якщо разом із будь-якими своїми двома точками вона містить і відрізок, що їх з'єднує. На рис. 1.5 зображені опукла і неопукла області. На рис. 1.5 а) разом з точками М1 і М2 даній області належить весь відрізок М1М2, область – опукла. На рис. 1.5 б) маємо випадок, коли крайні точки відрізка М1 і М2 належать області, однак існує точка М3 цього відрізка, яка даній області не належить. Ця область – неопукла.
Рис. 1.5. Опукла (а) та неопукла (б) області.
Зауважимо, що півплощина є опуклою областю. Має сенс підкреслити, що результат перетину опуклих областей є опукла область. Приклад 1.4. Знайти область розв'язків системи нерівностей:
Замінюючи нерівності рівняннями, отримаємо рівняння чотирьох прямих: x – 1 = 0 (1); y – 1 = 0; (2); x + y – 3 = 0; (3); -6x – 7y + 42 = 0 (4), які зображені на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
На рис. 1.6 стрілками показані півплощини, які є розв'язками нерівностей, а сама область D заштрихована і є опуклою.
|
||||||||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-16; просмотров: 321; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.217.21 (0.007 с.) |
розуміють круг, квадрат і т.п., що містять цю точку.
).
- замкнена область.
x – 1 > 0; y – 1 > 0; x + y – 3 > 0;
