Срок ссуды и формулы удвоения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 14Следующая ⇒

Различия в процессах наращения исходной суммы по простым и сложным процентам наиболее четко проявляются в периодах, приводящих к удвоению, утроению и т.д. или конкретному росту исходной суммы депозита, кредита.

Представим множители наращения:

- для простых процентов (1 + n∙l) = N раз

Отсюда, (29)

- для сложных процентов (1 + l)ⁿ = N раз

Отсюда, (30)

Проследим изменения периода удвоения исходной суммы депозита.

По простым процентам из (28) (31)

По сложным процентам из (29) (32)

Исходные ставки и результаты расчетов представим в таблице 6

Таблица 6

По результатам табл. 6 можно сделать следующие выводы:

1. Удвоение суммы вклада по сложным процентам происходит быстрее, чем по простым.

2. При увеличении процентной ставки разрыв во времени периода удвоения сокращается.

Номинальная и эффективная ставки

НОМИНАЛЬНАЯ СТАВКА

В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, поквартально, помесячно, ежедневно или непрерывно.

В этом случае можно воспользоваться основной формулой наращения по сложным процентам, считая, что n – это число периодов наращения, а под ставкой i следует понимать ставку наращения за один период.

Например, при поквартальном начислении процентов по квартальной сложной ставке процентов – 8% в течение 5 лет число периодов начисления n составит 5 X 4 = 20. Тогда множитель наращения (1 + i) ⁿ равен (1 + 0,08)²⁰ = 4,6609. На практике, как правило, в контракте или договоре фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, одновременно указывается и число периодов начисления.

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления процентов в году – m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной ставкой. При этом формула наращения выглядит следующим образом:

, (33)

где N – общее количество периодов начисления (N = n∙m).

Из этой формулы видно, что чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма, т.е. тем быстрее идет процесс наращения.

Возьмем для примера ставку процентов 12% годовых, денежную сумму в 1 д.е. и относительно года m = 1, 2,4 (ежеквартально), 12 (ежемесячно), тогда FV, согласно (1.9) составит соответственно:

Пример 21.

Клиент внес в банк депозит 10 млн. руб. В заключенном договоре указывается, что банк производит поквартальное начисление и капитализацию процентов. Срок депозита три года. Номинальная процентная ставка 60%.

Дано: Решение:

Р = 10 млн.руб. Находим общее количество периодов наращения:

m = 4 n ∙ m = 3 ∙ 4 = 12

n = 3 Определяем наращенную стоимость:

j = 60%

S -?

Представим, что в рассматриваемой ситуации проценты начисляются и капитализируются ежемесячно, а не ежеквартально, т.е. N = 12 ∙ 3 = 36

Определяем наращенную стоимость:

Результаты показывают, что ежемесячное начисление процентов за три года и их капитализация по сравнению с ежеквартальным дает дополнительный пророст депозита:

∆S = 57,918 – 53,502 = 4,416 млн.руб.

или около 44% исходной суммы (4,4: 10).

ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА

Введем теперь новое понятие – эффективную (действительную) ставку процента, под которой понимают ту реальную прибыль, которую получают от одной денежной единицы в год. Иначе говоря, эффективная ставка (т.е. такая ставка, по которой проценты начисляются один раз в год) эквивалентна (дает такое же наращение) номинальной ставке при начислении процентов m раз в год. Или эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m -разовое начисление процентов по ставке j.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m -разовом начислении) должны быть равны друг другу:

(1 + i) ⁿ = (1 + j/m) ^m∙n,

откуда

i = (1 + j/m) ^m – 1 (34)

и . (35)

Как видим, эффективная ставка при m > 1 больше номинальной, при m = 1 – i = j.

Замена в договоре номинальной ставки j при m -разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон.

Пример 22.

Банк начисляет проценты по номинальной ставке 40% годовых. Тогда эффективная годовая ставка при ежемесячном начислении и капитализации процентов. Другой банк предлагает ставку 48,16% годовых при начислении процентов один раз в год. Имеются ли преимущества в финансовом отношении у рассматриваемых вариантов сделки?

Чтобы ответить на этот вопрос, находим наращенную стоимость при ежемесячном начислении и капитализации процентов (33):

Определяем наращенную стоимость при ежегодном начислении и капитализации процентов:

S = 20 (1 + 0,4816)² = 43,9 тыс. руб.

Можно сделать вывод, что номинальная ставка 40% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов и эффективная ставка 48,6% годовых при ежегодном начислении и капитализации процентов обеспечивают финансовую эквивалентность сделки или одинаковые финансовые последствия.

Пример 23.

По вкладу А проценты начисляются один раз в год исходя из 10,2% годовых. По вкладу Б обслуживание осуществляется по полугодиям исходя из 10% годовых. Сравним доходности размещения средств.

Дано: Решение:

A: i = 10,2% годовых => i_Б = (1 + j/m)^m – 1 = (1 + 0,05)² = 0,1025

m = 1 i_Б = 10,25% годовых

Б: j = 10% годовых i_Б > i_A

m = 2

j: m = 5%

(ставка за процентный период)

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману