Решение систем линейных уравнений.(СЛУ)

Вопросы:

1.2.1.Определение СЛУ;

1.2.2.Матричная форма записи системы;

1.2.3. Решение СЛУ с помощью формул Крамера;

1.2.4.Решение СЛУ методом Гаусса;

Системы линейных уравнений

Определение 1. Система вида

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x ₁, x ₂, …, x _n - неизвестные, a _ij, i= , j= - коэффициенты при неизвестных, b ₁, b ₂, …, b _m - свободные члены.

Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.

Определение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с ₁, с ₂, …, с _n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной - в противном случае.

При изучении систем исследуют три вопроса:

1) совместна система или нет;

2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;

3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

Матричная форма записи системы

Пусть дана система

Рассмотрим матрицы

, , .

С помощью этих матриц систему можно записать в виде .

,

.

Решение системы с помощью формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

, где - главный определитель, - j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Решение СЛУ методом Гаусса.

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

3) перестановка двух уравнений;

4) отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0= k, то система несовместна.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Пример.

.

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице. Составим расширенную матрицу:

Получено решение системы х (3;2;1).

Вопросы для самопроверки.

1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?

2. Перечислите способы решения СЛУ.

3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?

4. Назовите формулы Крамера.

Перечислите этапы метода Гаусса.

Резюме к разделу 1.

Изучение раздела 1 формирует у обучающихся умения по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология