Докажите, что если система лзс, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Докажите, что если система ЛЗС, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Определение базиса и ранга системы векторов.

Придумайте пример системы векторов ранга 1.

Придумайте пример системы ранга 2 из 3 векторов.

Формулировка теоремы о ранге матрицы. (Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов)).

Что такое скалярное произведение и как его вычислить.

Что такое векторное произведение.

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя.

Знать основные свойства скалярного и векторного произведений:

Как определяется смешанное произведение и метод его вычисления с помощью определителя.

Система линейных уравнений. Напишите какую-нибудь систему в обычной, матричной и векторной формах.

Что такое линейная однородная система.

Что такое основная и расширенная матрица системы.

Что такое совместная или несовместная система уравнений.

придумайте пример совместной (несовместной) системы уравнений.

Формулировка и доказательство теоремы Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.

Что такое определённая и неопределённая системы уравнений.

Придумайте примеры определённой и неопределённой систем уравнений.

Матричный метод решения систем с квадратной невырожденной матрицей: приведите какой-нибудь пример системы из 2 уравнений и решите матричным методом.

Вывод формул Крамера.

Придумайте какой-нибудь пример системы из 2 уравнений и решите по формулам Крамера.

Что такое метод Гаусса. Придумайте какой-нибудь простейший пример системы из 3 уравнений и покажите, как она решается методом Гаусса.

Что такое общее, частное решение. Придумайте пример системы из 2 уравнений с 3 неизвестными, найдите общее и частное решение.

Докажите теорему о наложении решений. Если даны 2 системы уравнений с одной и той же основной матрицей, отличающиеся лишь правой частью, - решение системы с правой частью , а вектор - решение соответствующей системы с правой частью , тогда является решением третьей системы, где правая часть .

Докажите, что линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.

Сколько существует линейно-независимых решений однородной системы с n неизвестными, ранг основной матрицы равен r?

Что такое ФСР (фундаментальная система решений) однородной системы уравнений, приведите какой-нибудь пример, напр, для системы из 2 уравнений с 3 неизвестными.

Вывод уравнения прямой на плоскости по точке и перпендикуляру.

Вывод уравнения плоскости по точке и перпендикуляру.

Элементы векторной алгебры.

Задача. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти . Ответ. .

Задача. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Ответ 92.

Задача. Вывод формулы проекции вектора на ось .

Задача 7. Найти смешанное произведение трёх векторов:

. Ответ. .

Задача. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

№ 1. Найти . Ответ. 1227.

№ 2. Найти | [a,b] |. Ответ. .

Координаты в новом базисе.

Задача 9. Найти новые координаты вектора (5,4).

Ответ. Координаты в новом базисе (4,1).

Задача 10. Дан базис в пространстве: .

Найти новые координаты вектора (0,3,4).

Ответ. Координаты в новом базисе .

Неопределённые системы ().

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение .

Частные решения, например:

частное решение .

частное решение .

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение: .

Если задать, например, получим частное решение: .

Задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение . Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2)... их бесконечно много.

Однородные системы.

Задача. Решить однородную систему:

Ответ. Общее решение , ФСР .

Задача. Решить однородную систему .

Ответ. Общее решение: , ФСР .

Задача. Решить однородную систему

Ответ. Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: . ФСР:

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.

Ответ. Общее решение: .

ФСР: , , .

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР:

Ответ. Общее решение , .

ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Задача. Решить однородную систему, найти ФСР

Ответ. Общее решение: , , ФСР: .

Квадратичные формы.

Задача. Построить матрицу квадратичной формы:

.

Ответ. Матрица .

Задача. Квадратичную форму привести к главным осям.

Ответ. Кв.форма: , новый базис и .

Задача. Квадратичную форму привести к главным осям. Ответ. , новый базис и .

Задача 5. Привести к главным осям квадратичную форму:

Q(x,y) = 14 +24 +21 .

Ответ. 30 +5 , новый базис: и .

Аналитическая геометрия.

Прямая в пространстве

Задача. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему .

Ответ. ,

Задача. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей и .

Ответ. , .

Задача. Доказать, что прямая пересекает ось и найти точку пересечения.

Ответ. (0,0,1).

Задача. Найти угол между прямой

и плоскостью . Ответ. .

Задача. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами , , и проходящей через вершину А.

Ответ. Канонические ,

параметрические .

Задача. Доказать, что две прямые в пространстве

и пересекаются, и найти точку пересечения.

Ответ. точка пересечения (1,1,2).

Задача 11. Доказать, что две прямые в пространстве:

и скрещивающиеся, и найти расстояние между ними. Ответ. .

Задача. Доказать, что прямые и пересекаются и найти точку. Ответ. (3,7,-6).

Задача. Вычислить расстояние от точки (4,4,-2) до прямой в пространстве. Ответ. .

Задача. Даны три точки А(1,1,1),В(2,2,3),С(2,1,2). Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С

до этой прямой (высота треугольника АВС). Ответ. .

Задача. Найти точку пересечения плоскости и прямой . Ответ. Точка пересечения .

Задача. Через точку и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти косинус тупого угла между этими плоскостями. Ответ.

Задача. Заданы 2 прямые в пространстве, одна - своими параметрическими уравнениями, а другая как пересечение пары плоскостей:

и .

Доказать, что эти прямые параллельны, и найти уравнение плоскости, содержащей их. Ответ. Плоскость .

Задача. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр , полуоси и .

Задача. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.

Ответ. Центр , полуоси 1 и 3.

Задача. Доказать, что однополостный гиперболоид содержит прямолинейные образующие.

Задача. Доказать, что кривая является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр (3,-1), полуоси 3 и .

«Введение в математический анализ. Множества и функции»

Задача. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:

. Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Ответ. Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: .

Задача. Найти область определения функции:

. Ответ. .

Задача. Найти область определения функции:

.

Ответ. Кольцо .

Задача. Найти область определения функции 3 переменных:

. Ответ. Шар радиуса 1: .

Тема: Пределы функций.

Задача. Найти предел . Ответ. 0.

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. 27.

Задача. Найти предел . Ответ. 2.

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. 4

Задача. Найти предел . Ответ. .

Задача. Найти предел . Ответ. .

Докажите, что если система ЛЗС, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Определение базиса и ранга системы векторов.

Придумайте пример системы векторов ранга 1.

Придумайте пример системы ранга 2 из 3 векторов.

Формулировка теоремы о ранге матрицы. (Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов)).

Что такое скалярное произведение и как его вычислить.

Что такое векторное произведение.

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя.

Знать основные свойства скалярного и векторного произведений:

Как определяется смешанное произведение и метод его вычисления с помощью определителя.

Система линейных уравнений. Напишите какую-нибудь систему в обычной, матричной и векторной формах.

Что такое линейная однородная система.

Что такое основная и расширенная матрица системы.

Что такое совместная или несовместная система уравнений.

придумайте пример совместной (несовместной) системы уравнений.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров