Тема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрывы функций.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Классификация функций

1. Является ли частным значением функции ? Если да, то при каком значении x она принимает это значение?

2. Является ли частным значение функции при ?

3. Найдите частные значения неэлементарной функции:

4. Найдите частное значение функции, заданной графически при .

5. Какие из приведенных функций алгебраические, а какие трансцендентные?

1)

2)

3)

4)

5)

6. Какие из приведенных функций рациональные, а какие иррациональные?

1)

2)

3)

4)

7. Какие из приведенных функций являются целыми рациональными функциями, правильными рациональными дробями и неправильными рациональными дробями?

1) ;

2) ;

3) .

8. Укажите, какие функции обратные, а какие нет.

1)

2)

3)

4)

9. Укажите, какие функции заданы явно, а какие неявно.

1)

2)

3)

10. Найдите область определения следующих функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

11. Исследуйте на четность и нечетность следующие функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

12. Найдите наименьший период функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тема 2. Теория пределов

1. Напишите первые пять членов последовательностей, n-ые члены которых выражаются формулами:

1)

2)

3)

4)

2. По заданным первым членам последовательности подберите одну из формул для - го члена:

1)

2)

3)

3. Докажите, что:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

4. Найдите пределы (раскройте неопределенности):

5. Вычислит е пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) .

Тема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрывы функций.

Основные свойства непрерывных функций

1. Напишите последовательность значений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:

Докажите, что

(Указание. Положить где – б.м.в.)

3. Используя теоремы о пределах, найдите пределы:

4. Найдите односторонние пределы функции при .

5. Найдите точки разрыва функции и исследуйте поведение функции в окрестностях точек разрыва (т. е. найдите односторонние пределы в точке разрыва).

6. Пользуясь определением непрерывности функций, докажите, что функция непрерывна:

1) в точке ;

2) при .

7. Найдите точки разрыва и исследуйте их характер для следующих функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Тема 4. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Эквивалентные бесконечно малые величины

1. Найти пределы, используя первый замечательный предел:

2. Найти пределы, используя второй замечательный предел:

3. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых величин, найти пределы:

Тема 6. Дифференцирование функций (продолжение)

1. Найдите производные следующих функций:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; .

2. Найдите производные неявных функций:

;

; .

3. Найдите производные функций, заданных параметрически:

4. Найдите уравнения касательной и нормали к плоской линии в точке

Тема 7. Дифференциал функции.

Тема 8. Аналитические приложения дифференцируемых функций

1. Определить интервал убывания и возрастания функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Найти по правилу Лопиталя следующие пределы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8)