Частинні похідні вищих порядків

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Частинні похідні та називають частинними похідними першого порядку. Вони є функціями змінних х і , отже, їх можна диференціювати.

Означення.Частинними похідними другого порядку називають частинні похідні від частинних похідних першого порядку.

Другі частинні похідні функції :

Інші позначення

Цей процес можна продовжити, тобто визначити частинні похідні третього, четвертого і т.д. порядків.

Деякі з частинних похідних третього порядку:

Похідні, в яких диференціювання здійснюється за різними змінними, називаються мішаними.

Теорема. Якщо функція має частинні похідні другого порядку і в деякому околі точки , які є неперервними в цій точці, то

Частинні похідні і повний диференціал функції багатьох змінних

Нехай дано функцію , визначену в деякій області .

За означенням

де – частинний приріст функції за змінною .

Означення. Частинний диференціал функції за змінною визначається формулою:

Означення.Повним диференціалом функції багатьох змінних називається сума всіх частинних диференціалів, що записуються так:

( бо – незалежні змінні).

ä Приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції

Спочатку знаходимо частинні похідні першого порядку

Тоді

ä Приклад. Знайти другий диференціал складної функції .

Нехай . Тоді

$$$ Визначити оптимальний розподіл ресурсів для функції випуску , якщо витрати на фактори х і – лінійні і задаються цінами

В точці , яка задає оптимальний розподіл ресурсів х і , лінія рівня функції витрат дотикається ізокванти . На економічній області ізокванта є частиною графіка функції . Лінія рівня функції витрат – це прямі , кутовий коефіцієнт яких .

Таким чином, умова дотику має вигляд

звідки і відповідно .

Таким чином, фактори х і необхідно розподілити у відношенні 4:3.

Екстремуми функції багатьох змінних

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США