Решение типовых задач по математической статистике

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Задача 1. В течение 300 дней фиксировалась цена акции ООО «Психолог». Затем была проведена случайная выборка объёмом n=20, и получены следующие результаты: 35,9; 35,3; 42,7; 45,3; 25,6; 35,3; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,8; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.

Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , , s, , ; с надежностью указать доверительный интервал для оценки генеральной средней_.

Решение. Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда, то есть, располагая их в порядке возрастания: 25,6; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,8; 42,7; 44,1; 45,3.

Максимальное значение признака составляет 45,3 ц, а минимальное –

25,6 ц. Разница между ними составляет 19,7 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество частей. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 4–7 интервалов. Возьмем длину интервала . Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал 25 – 30 попадают два значения: 25,6 и 27,0; поэтому . Во второй интервал попадают пять значений, поэтому . Аналогично, , , .

Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

; ; ;

; .

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

.

Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.

Вычислим плотности относительных частот вариант. Получаем

;

;

;

;

.

Полученные результаты сведем в таблицу 4.

Таблица 4.

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотности относительных частот.

Рис.8. Гистограмма относительных частот.

Так как объем выборки небольшой () и почти все наблюдаемые значения различны, то для вычисления выборочных характеристик составим вспомогательную таблицу (таблица 5).

Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: – выборочная средняя; – «исправленная» дисперсия; – «исправленное» среднее квадратическое отклонение; – ошибка средней; – коэффициент вариации.

Таблица 5.

№	Результат обследования
	35,9	– 0,1	0,01
	35,3	– 0,7	0,49
	42,7	6,7	44,89
	45,3	9,3	86,49
	25,6	–10,4	108,16
	35,3	– 0,7	0,49
	33,4	– 2,6	6,76
	27,0	– 9,0	81,00
	35,9	– 0,1	0,01
	38,8	2,8	7,84
	33,7	– 2,3	5,29
	38,6	2,6	6,76
	40,8	4,8	23,04
	35,5	– 0,5	0,25
	44,1	8,1	65,61
	37,4	1,4	1,96
	34,2	– 1,8	3,24
	30,8	– 5,2	27,04
	38,4	2,4	5,76
	31,3	– 4,7	22,09
Σ	720,0		497,20

Подставляя полученные значения в формулы, получаем

;

;

;

;

.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь точность оценки :

;

где значение находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что средняя цена акции за 300 дней заключена в пределах от ц. (гарантированный минимум) до ц. (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в агрофирме на площади га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Требуется найти:

1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве;

2) величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве;

3) доверительный интервал, в котором с вероятностью заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значения признака нужно принять середины интервалов. Получим:

= (24∙3+26∙10+28∙6+30 ∙16+32 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 =

= 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности вычисляем исправленное среднее квадратическое отклонение:

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве

= = 3,4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся двойным неравенством:

.

Так как , то значение найдем из условия . По таблице приложения 2 находим значение и , следовательно, получаем:

.

Концы доверительного интервала:

и .

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ

Определение 1. Зависимость двухслучайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к

изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1. определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2. определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Пусть извлечена выборка объема и исследуются два количественных признака и . Результаты измерений занесены в таблицу.

Значения			…
Значения			…

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [–1;1]:

.

2. Чем модуль больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если , то между признаками функциональная связь.

4. Если , то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если , то между признаками прямая (положительная) связь и если , то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

,

где , – выборочные средние. За приближенные значения и принимают соответственно и :

, .

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

.

Пример. Психологи провели тестирование среди пациентов психоневрологического диспансера. Возраст пациентов колебался от 14 до 34 лет. Затем была проведена случайная выборка объёмом n=10. Была поставлена задача: определить есть ли зависимость возраста испытуемого от значения показателя развития заболевания . Результаты этого измерения представлены в таблице 6:

Таблица 6.

Требуется вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии на .

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

.

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу 7, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из столбцов вычислены суммы для нахождения средних и . Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности и , их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются (последняя строка), чтобы получились величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности и будут всегда равны нулю.

Таблица 7.

		– 45 – 35 – 25 – 15 – 5		– 9 – 5 – 4 – 3

Находим выборочные средние и (смотри данные в таблице, 1–2 столбцы):

= 700/10 = 70, = 230/10 = 23.

Выполнив все вычисления в таблице (3 – 7 столбцы), получаем:

,

,

.

Подставляя эти значения в соответствующую формулу, вычислим коэффициент корреляции:

Таким образом, выбранных пациентов имеет место очень сильная (т.к. значение близко к 1) и положительная (т.к. ) корреляция между возрастом испытуемого и значением показателя развития заболевания .

Найдем теперь выборочное уравнение прямой регрессии на .

,

где ,

.

Тогда

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии на : , , , , получим или .

Окончательно,

–

искомое уравнение прямой регрессии на .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману