Докозательство очевидно: ММИ.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

39. Поле алгебраических чисел (теорема).

Теорема. Мн-во всех чисел алгебраических, на данном поле Р является полем.

Д-во: Пусть все корни min –го полинома числа над полем Р.

- Рассмотрим полином (1)

Будем рассматривать как переменные. Полином f(x) не меняется при любых перестановках и с представляют собой полином от симетрич. как так и по .

Пусть с ()- один из этих коэффициентов можно его рассмотреть как симметрический полином от с коэфиц. из кольца S симметрических полиномов от . Этот полином можно представить в виде полинома от элементарных симметрических полиномов от с коэфиц. из кольца S. Каждый из этих коэфиц. в свою очередь можно представить в виде как полином от элементарных симметрич. Полиномов от с коэфиц. из поля Р. Подставляя в это выражение значения и найденные по формулам Виета, получим что с ()ϵР.

Таким образом все коэфиц. полинома f(x)(формула 1) ϵ полю Р, т.к. g( 0, то =0 – алгебраическое число над Р. Аналогично рассматривая полином (2). Можно доказать что – алгебраическое над полем Р число.

Поле алгебраических чисел (обобщение теоремы).

Корень любого не нулевого полинома, коэффициенты которого алгебраические над Р числа также является алгебраическим над Р числом.

Док-во: 1) Пусть корень полинома , где алгебраические над Р числа и при чём .

2)Рассмотрим возрастающую последовательность числовых полей:

Р₀=Р(), Р₁=Р₀(), Р₂=Р₁(), …, Р_n=Р_n-1()

Число – алгебраическое над полем Р, поэтому тем более оно алгебраическое над Р_к-1. Следовательно Р_к – конечное расширение поля Р_к-1, значит следовательно Р_n – конечное расширение поля Р.

Поле Р_n по построению содержит числа . Следовательно число – алгебраическое число над .

Рассмотрим поле () (аналогично предыдущему), () – конечное расширение поля Р ⇒ все его элементы и в частности число являются алгебраическими над Р числами. Доказано!!!

Опр. Поле Р наз. алгебраически замкнутым, если любой польном с коэффициентами из Р имеет корни в это поле.

Замечание: По основной теореме алгебры, поле С алгебраически замкнуто. Из следствия получаем, что всех чисел алгебраических над данным числовым полем Р, так же алгебраически замкнуто.

Действительно, любой полином с коэффициентами из Р имеет корень поля С, но по следствию этот корень принадлежит полю .

В частности поле всех алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Разрешимость в квадратных радикалах алгебраического уравнения.

Опр. Будем говорить, что число α представляется в квадратных радикалах над полем Р, если оно выражается через элементы этого поля при помощи извлечения квадратных корней и рациональных операций (+; -; *; )

Опр. Алгебраическим уравнение с коэффициентами из поля Р назыв. разрешимым в квадратных радикалах над Р, если все его корни представляются в квадратных радикалах над Р.

Теорема: Пусть f(x) P[x] полином степени n не приводимый над полем Р, если n не явл. степенью двойки, то не один корень уравнения не представляется в квадратных радикалах над Р.

Д-во: Пусть α корень уравнения f(x)=0 который представляется в квадратных радикалах над Р, тогда существует последовательность чисел , где каждая : удовлетворяет одному из условий:

Построим цепочку полей:

Если или получаем в результате рациональной операции над предыдущими двумя элементами последовательности то ,

Тогда получаем, что

Если , то тогда либо : или – алгебраическое число второй степени над полем (это зн. степень расширения )

Размерность

Р – количество индексов в К для некоторых

Рассмотрим поле Р(α). Полином f(x) неприводим, поэтому он является минимальным полиномом, числа α над полем Р.

Размерность или степень

значит

Степень расширения

Значит ,q≤p ►

Следствие: Пусть f(x) P[x] полином третьей степени кубического уравнения f(x)=0 разрешимо в квадратных радикалах над Р ⇔когда оно имеет хотя бы один корень Р.

Д-во: 1)Если f(x) не имеет корней в Р, то он не приводим над Р и по доказанной теореме уравнение f(x)=0 не разрешимо в квадратных радикалах над Р.

2)Если f(x) имеет корень x₀ P, то мы можем разделить f(x) на (х – х₀) и решение уравнения f(x)=0 сводится к решению квадратного уравнения с коэффициентами из поля Р, которые очевидно разрешимы в квадратных радикалах.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману