В правоприменительной деятельности

Случайной величиной называется переменная, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения.

3. Классическое определение вероятности: p = m(A) / N, где m(A) – число благоприятных исходов, а N – общее число исходов.

4. Событие A =, случайная величина X(ω) =

Закон распределения конечной случайной величины

Дискретная величина X принимает конечное число значений с определенными вероятностями, а непрерывная – бесконечное число значений и определяется тем, что существует функция f(x) (функция плотности), что

5. Функция распределения F(x) определяется соотношением

6. Если известно, что в результате эксперимента произошло некоторое событие B,p(B) > 0, и информация о нем учитывается при вычислении вероятности события А, то такая вероятность называется условной:

р(A1 + А2| В) = р(A1 | В) + р(А2|В).

§ Теорема умножения: р(АВ) = р(А | В)р(В) для независимых событий

p_ij = p(X = x_i , Y = y_j).

Произведением этих случайных величин называется случайная величина XY, значениями которой являются всевозможные произведения x_i y_j с теми же вероятностями p_ij.

2. Пусть X₁, X₂, …, X_n – независимые бернулиевы случайные величины:

Тогда их сумма есть биномиальная случайная величина:

3. Нормальное распределение случайной величины X (обозначение X ~ N (m,σ)) определяется плотностью распределения:

или функцией распределения:

Стандартным называется нормальное распределение N (0, 1).

Функция Excel НОРМРАСП возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения:

§ k – положительное целое число степеней свободы, характеризующее распределение.

Лекция 3

Первичная обработка данных. Выборочные характеристики и
доверительные интервалы при статистическом анализе правовой информации

1. При рассмотрении выборки X _n = { х₁, х₂,..., х_n } предполагается, что соответствующаягенеральная совокупность характеризуется функцией распределения F(x).

Функция распределения F _n(x) эмпирической случайной величины

определяется как

.

2. Выборочное (эмпирическое) среднее и выборочная дисперсия определяются формулами:

3. Первичная обработка данных. Частотный анализ.

Если среди чисел { х₁, х₂,..., х_n } имеется k различных (k < n) чисел z₁, z₂, …, z_k ичисло z_i встречается n_i раз i = 1, 2,..., k, то n_i называется частотой элемента z_i, а f_i = n_i /n – относительной частотой. Последовательность Z = { (z_i, n_i) } называется, в таком случае, статистическим рядом. Если z₁, z₂, …, z_k упорядочены по возрастанию, то N_i = n₁ + n₂ +... + n_i называютсянакопленной частотой, а F_i = f₁ + f₂ +... + f_i – накопленной относительной частотой.

4. Квантили. Медиана. Мода

§ 90-% выборочная квантиль – это значение, левее которого расположены 90% значений вариационного ряда;

§ выборочная медиана – это середина вариационного ряда;

§ выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.

5. Назовем уровнем значимости некоторое малое число α (обычно α = 0.01, 0.05, 0.1). Тогда интервальная оценка параметра θ представляет интервал

(θ₁, θ₂) = [θ₁(x₁, …, x_n), θ₂(x₁, …, x_n),

содержащий параметр θ. Его границе определяются по выборке x₁, …, x_n и

Таким образом, в интервал ( θ₁, θ₂ ) истинное значение параметра θ попадаетс относительно большой вероятностью 1 – α. Интервал ( θ₁, θ₂ ) называется доверительным интервалом для параметра θ с доверительной вероятностью 1 – α.

Лекция 4

Статистические гипотезы и схема их проверки в процессе производства
следственных действий

1. Исследования в юридической практике часто связаны с выдвижением и проверкой гипотез о параметрах генеральной совокупности X. Эти утверждения основываются на опыте, предположениях и интуиции.

Проверка гипотез представляет статистическую процедуру основанную на использовании выборочных данных X _n = { x₁, х₂,..., х_n }. Она представляет процесс принятия решения о том, чтобы принять или отвергнуть рассматриваемую гипотезу.

2. Обычно проверяемую гипотезу обозначают H₀, а альтернативную ей гипотезу – H₁. При проверке гипотез возможны следующие ситуации:

§ H₀ верна и не отвергается;

§ H₀ верна но отвергается; такая ситуация называется ошибкой I рода.

§ H₀ неверна и отвергается;

§ H₀ неверна, но не отвергается; такая ситуация называется ошибкой II рода.

3. Общая схема проверки гипотез представляет следующую процедуру:

§ сформулировать Н₀ и Н₁ и задать случайную величину Z - статистику критерия (значимости), которую можно вычислить по выборке;

§ задать уровень значимости α, который определяет критическую область V равенством p(Z Î V) = α; условия задания области V представляют критерий, а дополнение к критической области (R\V) называется областью принятия решения;

§ при вычислении вероятности р по выборке, возможны два случая:

a) если p £ α, то данные выборки противоречат гипотезе Н₀(Z Î V), что означает, что гипотеза H₀ отклоняется(т.е. принимается H₁);

b) в противном случае, когда p > α (Z_s Î R\V), данные подтверждают Н₀, которая и принимается;

4. Если мы знаем доверительный интервал, для уровня значимости α, то критическая область V может рассматриваться как дополнение к доверительному интервалу. Например, для гипотезы H₀: т = т₀, если

,

то критическая область V задается неравенствами

.

Лекция 5

123Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры