Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь
FAQ
Написать работу

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу

Над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения,

↑

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Линейная алгебра.

1)Матрицы. Основные определения. Транспонирование матриц.

2)Линейные опрации над матрицами. Свойства.

3)Умножение матриц. Свойства.

4)Линейная зависимостьи независимость матриц-строк и матриц-столбцов.

5)Определители n-го порядка. Их свойства.

6)Системы линейных уравнений. Основные определения.

7)Метод Крамера.

8)Обратная матрица. Решение простейших матричных уравнений. Матричный метод решения систем ленейных уравнений.

9)Ранг матрицы. Базисный минор.

_____________Вопрос №1 Линейная алгебра.__________________________________

1) ----------Матрицы. Основные определения.-------------

составленная из m·n чисел, называется матрицей из m строк

и n столбцов или матрицей размера m×n, а также m×n-матрицей.

Числа aij (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) называются элементами матрицы;

первый индекс i указывает номер строки, в которой стоит элемент

матрицы, а второй индекс j - номер столбца.

Матрица (1) может обозначаться также |aij|, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

Кроме того, для матриц используются обозначения

или (aij);

или [aij]. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (и равно n),

то матрица называется квадратной матрицей (порядка n).Две матрицы

|aij| и |bij| называются равными, если числа их строк и столбцов

соответственно равны и равны числа, стоящие на соответствующих местах:

aij=bkl при l=k и j= l

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение

матрицы на число, сложение матриц и умножение матрицы.

Единичная матрица.

Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны единице,

а остальные - нули, называется единичной и обозначается

E (или En, где n - ее порядок,|ij|, где i,j=1,2,...,n. Символ ij имеет специальное

название - "символ Кронекера'').Для любой квадратной матрицы A порядка

n справедливо равенство E_n·A=A·E_n=A Матрицы |aij| порядка n, у которых aij=0 для

всех i/=j, т.е. матрицы вида

называются диагональными элементами матрицами

(об элементах a11,a22,...,ann также говорят, что они стоят на главной диагонали).

Свойство диагональных матриц.

Сумма и произведение двух диагональных матриц - также диагональные матрицы,

---------------Транспонирование матриц. --------------

Пусть A=|aij|- матрица размера m×n: A=|aij|

Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется

транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается A_T.

Квадратная матрица A называется симметрической, если A_T=A, и кососимметрической,

если A_T=−A Элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,

у симметрической матрицы равны, а у кососимметрической противоположны.

Все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны нулю.

Транспонированная матрица — матрица A_T, полученная из исходной матрицы A заменой

строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров —

матрица A_T размеров, определённая как A_T[i, j] = A[j, i]. Например,

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

2) Линейные операции над матрицами.

1. Сложение матриц.

Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m х n называется

матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов

матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.

2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Пример.

2. Умножение матрицы на число.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).

2. k(A + B) = kA + kB.

3. (k + m)A = kA + mA.

Пример. . Тогда

Перемножение матриц.

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых.

Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей

сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

Определение. Произведением матрицы А размерности m х p и матрицы В размерности p х n

называется матрица С размерности m х n, каждый элемент которой определяется формулой:

Таким образом, элемент Cij представляет собой сумму произведений

элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример. . При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА.

Размерность матрицы С=АВ составляет 2 х 3 Найдем элементы матрицы С:

Итак, Теорема (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен

произведению их определителей. Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. AB не равно BA

Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения

размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности

(еслиm не равно n).Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую

размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны. Однако в некоторых случаях произведения

АВ и ВА совпадают. Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

Обратная матрица.

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка,

если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается A^-1. Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к

данной, и способ ее вычисления.

Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была

невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу A^-1 в следующем виде:

Тогда любой элемент произведения A* A^-1 (или A^-1 *A), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений

элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и,

следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали,

равны Таким образом, . Теорема доказана. Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления

обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А,

деленные на ее определитель.

Пример. Найдем матрицу, обратную к следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические

дополнения к ее элементам: Не забудем, что алгебраические

дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак,

Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению A^-1 Найдем

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.Рассмотрим линейную систему

и введем следующие обозначения: - столбец неизвестных, - столбец свободных членов.

Тогда систему (2.3) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В (3.1) Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица A^-1

Умножим обе части равенства (3.1) слева на A^-1 Получим Но тогда , а поскольку (3.2)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3)[править] Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Определения

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

б) Так как х₀=lim x, то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x₀ (приращение аргумента) и Df=f(x)-f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Введем обозначения:

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.

Типы разрывов</H2< a>

А. Пусть существуют конечные f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х₀функция f(x) имеет разрыв I рода или скачек.

График функции f(x) в окрестности точки х₀ имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х₀.

Б. Если хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х₀ в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

Монотонные функции

Докажем теперь две теоремы, касающиеся непрерывности монотонных функций.

Теорема 1.. Пусть f(x) определена и монотонна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она может иметь на этом отрезке только разрывы I рода (скачки).

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

Возьмем какую-то точку x₀ Î[a,b]. Пусть мы приближаемся к точке х₀ слева (см. рис.). Тогда при этом значения функции f(x) будут монотонно возрастать. Но они будут ограничены сверху, например, величиной f(x₀). Поэтому, по теореме о пределе монотонно-возрастающей функции будет существовать конечный .

При движении к х₀ справа значения f(x) будут монотонно убывать, но будут ограничены снизу величиной f(x₀). Поэтому снова существует конечный .

Если f(x₀+0)= f(x₀-0), то f(x) будет непрерывна в точке х₀, если же f(x₀+0)<f(x₀-0), то у f(x) в точке х₀ будет разрыв I рода. <

Определение. Говорят, что значения функции f(x), определенной на <a,b>, заполняют некоторый отрезок <c,d> сплошь, если

Теорема 2. Для того, чтобы монотонная функция f(x) была непрерывной на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы ее значения заполняли отрезок [f(a), f(b)] сплошь.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда . Согласно второй теореме Больцано-Коши, . Поэтому отрезок [f(a),f(b)] заполнен сплошь.

2. Пусть f(x) не является непрерывной на [a,b]. Тогда она на [a,b] может иметь только разрывы I рода. Пусть х₀ – координата такого разрыва. Возможные поведения графика f(x) изображены на рисунках.

Из них видно, что в этом случае отрезок [f(a), f(b)] заполнен не сплошь. <

Замечательные пределы

Рассмотрим еще некоторые пределы, которые полезно знать.

1. Вспомним замечательный предел

Сделаем в нем "замену переменных" . Тогда при и мы получим

2. Вспомним, что log_a – непрерывная функция. Логарифмируя предыдущее равенство, получим:

Итак,

В частности,

3. В предыдущем соотношении сделаем снова замену переменных . Тогда при получаем

Переворачивая это соотношение, получим

В частности,

4. Докажем, что

положим .

Тогда при x®0 y®0. Далее , и логарифмируя это равенство, получим

m ln(1+x)=ln(1+y)

Далее имеем

так как оба написанных предела равны 1.

5. Докажем, что при a>1 и при m>0

а) Докажем сначала, что при a>1 . Действительно, обозначим a=1+l, l>0. Пользуясь формулами бинома Ньютона, получим

Поэтому ,,

т.е. .

б) Возьмем произвольное x®+¥ и обозначим n=[x], т.е. целая часть от x. Тогда n £ x £ n+1 и получаем

так что . Поэтому .

в) Наконец, при произвольном m>0 имеем

6. Докажем, что при m>0 и a>1

Действительно, делая замену переменных log_a(x)=y, x=a^y, получим, что при x®+¥, y®+¥

7. Докажем, что при m>0 и a>1

Действительно, делая замену переменных

Определение

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:ноль, если A — нулевая матрица;

число , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_r _{+ 1} — окаймляющий к н

ему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы

порядка k равны нулю (M_k = 0). Тогда

, если они существуют. Связанные определения Базисный минор Ранг

матрицы M размера

называют полным, если

. Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где

. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)[править] Свойства Теорема (о базисном миноре): Пусть

— базисный минор матрицы A, тогда: базисные строки и базисные столбцы линейно независимы; любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Следствия: Если ранг матрицы равен r, то любые p: p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы. Если A — квадратная матрица, и

, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы. Пусть

, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r. Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A ∼ B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B, то их ранги равны.Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности: Количество главных переменных системы равно рангу системы. Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных. [править]Линейное преобразование и ранг матриц Пусть A — матрица размера

над полем C (или R). Пусть T — линейное преобр азование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T (x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.