Практическое занятие № 13. Применение логики предикатов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений и определений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства.

Примеры выполнения заданий

Запишите определение на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте его отрицание:

Функция f непрерывна в точке x₀, если и только если для всякого положительного числа e существует положительное число d такое, что для всякого x из области определения D функции f, если |x - x₀| < d, то
|f(x) - f(x₀)| < e.

Решение. Запишем это определение на языке логики предикатов двумя разными способами.

1 способ:

, где

2 способ, используя ограниченные кванторы:

Построим отрицание этого определения:

Задания для самостоятельного выполнения

1. Запишите аксиомы положительных величин на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:

0) Коммутативность сложения

Для любых двух величин a, b Î A справедливо a + b = b + a.

1) Ассоциативность сложения

Для любых двух величин a, b, с Î A справедливо a + (b + c) = (a + b) + c.

2) Монотонность сложения

Для любых двух величин a, b Î A справедливо a + b > a.

3) Транзитивность отношения

Для любых трех величин a, b, с Î A. Если a < b и b < c, то a < c.

4) Возможность суммирования

Для любых двух величин a, b, с Î A существует однозначно определенная величина c = a + b.

5) Возможность вычитания

Для любых двух величин a, b, с Î A если a > b, то существует одна и только одна величина c Î A, для которой b + c = a.

6) Возможность деления

Какова бы ни была величина a Î A и натуральное число n, найдется такая величина b Î A, что n * b = a.

7) Возможность сравнения

Для любых двух величин a, b Î A имеет место одно из трех отношений:
a = b, a < b, a > b.

8) Аксиома Архимеда или Евдокса

Каковы бы ни были величины a, b Î A, существует такое n, что n* b > a

9) Аксиома соизмеримости отрезков

Пусть последовательность величин a_i Î A, i = 1…n обладает свойством
a₁ < a₂ <… < a_n <…, а последовательность b_i Î A, i = 1…n свойством
b₁ < b₂ <… < b_n <…, при этом a_i < b_i для любых i, j Î N.

Пусть для любого e > 0 существует такое N(e), что при всех n > N разность |a_n – b_n| < e. Тогда существует единственный элемент cÎ A, удовлетворяющий условиям a_i < с, с < bj для любых i, j Î N.

2. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:

0) a) каждое положительное действительное число является квадратом другого;

b) натуральное число, которое делится на 6, разделится и на 2;

1) a) для каждого натурального числа существует одно и только одно число, непосредственно следующее за ним;

b) каждое действительное число является кубом другого;

2) a) натуральное число, которое делится на 6, разделится и на 3;

b) произведение двух натуральных чисел, одно из которых четное, другое нечетное, есть число четное;

3) a) от перемены мест сомножителей произведение не меняется;

b) натуральное число, которое делится на 2 и 3, разделится на 6;

4) a) натуральное число, которое делится на 9, разделится на 3;

b) от перемены мест слагаемых сумма не меняется;

5) a) частное от деления двух натуральных четных чисел, если оно существует, есть число четное или нечетное;

b) если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы один из сомножителей делится на 5;

6) a) для чисел отличных от нуля существует наибольший общий делитель;

b) если произведение двух натуральных чисел делится на 12, то среди них есть четное число, делящееся на 3;

7) a) если произведение двух натуральных чисел делится на 18, то хотя бы один сомножитель делится на 6 или хотя бы один из сомножителей нечетный;

б) сумма двух натуральных чисел, имеющих различную четность, нечетна;

8) a) для чисел отличных от нуля существует наименьшее общее кратное;

б) если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то их произведение не делится на 11;

9) а) если произведение двух натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один из сомножителей делится на 3 или хотя бы один из сомножителей четный;

б) сумма двух натуральных четных чисел, есть число четное.

Рекомендуемая литература

[1] Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:

"Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят, по крайней мере, два зайца".

[2] Гранью в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте