Приведение квадратичной формы к каноническому виду

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

При помощи линейной замены переменных квадратичную форму можно привести к каноническому виду .

Покажем, как это сделать.

Пусть . Сгруппируем слагаемые, содержащие и, вынеся предварительно за скобки, выделим полный квадрат, используя формулу квадрата суммы: . Соответствующие преобразования выглядят так:

Заменив затем переменные по формулам

, получим, что .

На предложенном пути, уже с самого начала, могут возникнуть некоторые трудности. Например, может оказаться, что . В этом случае нужно поменять местами первую переменную с той, коэффициент при квадрате которой отличен от нуля. Если коэффициенты при всех квадратах нулевые, то найдётся произведение каких-нибудь двух переменных с отличным от нуля коэффициентом (в противном случае квадратичная форма тождественно равна нулю). Не умаляя общности, можно считать, что . Положим . Слагаемое при этом приобретает вид . После этого можно выполнить действия, описанные выше для случая, когда коэффициент при квадрате первой переменной отличен от нуля. В результате мы получаем сумму квадрата первой переменной с ненулевым коэффициентом и новой квадратичной формы с n –1 переменной. Далее процесс продолжается аналогично.

Предложенные выше преобразования переменных линейны, то есть могут быть представлены равенством (или ), где P – невырожденная матрица, а и – столбцы, соответственно, новых и старых переменных. В первом случае и ,во втором и .

Описанный выше метод приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом Лагранжа.

Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду решается неоднозначно. Тем не менее, имеет место закон инерции квадратичных форм, а именно, справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а. Каким бы способом ни приводилась квадратичная форма к каноническому виду, количество квадратов с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами остаётся неизменным.

Продемонстрируем идею доказательства этой теоремы на примере. Допустим, что квадратичная форма при помощи преобразования приведена к виду , а при помощи преобразования – к виду .

Используя тот факт, что числа положительных коэффициентов не совпадают, найдём такой ненулевой вектор X, что преобразования и дадут и соответственно.

Для этого рассмотрим систему уравнений

.

В этой системе количество уравнений с коэффициентами p_{i j} из матрицы P (первые две строчки) совпадает с числом положительных коэффициентов в первом представлении квадратичной формы, а количество уравнений с коэффициентами из матрицы (последние три строчки) совпадает с числом неположительных коэффициентов во втором представлении.

Так как во втором представлении положительных коэффициентов больше, чем в первом, то сумма числа положительных коэффициентов первого представления и неположительных – второго, меньше числа переменных. Так что рассматриваемая однородная система содержит неизвестных больше, чем уравнений, и, следовательно, имеет нетривиальное (ненулевое) решение X = (x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅, x ₆, x₇)^Τ. Очевидно, что преобразования и , в силу невырожденности матриц P и , при ненулевом X дают ненулевые Y = (0,0, y ₃, y ₄, y ₅, y ₆, y ₇)^Τ и Z = (z ₁, z ₂, z ₃, z ₄,0, 0, 0)^Τ.

значения квадратичных форм и при найденных X, Y и Z (соответственно) совпадают, вместе с тем значение ,очевидно,не положительно, тогда как значение ,напротив,больше нуля. Пришли к противоречию, следовательно, числа положительных коэффициентов в разных канонических представлениях квадратичной формы должны быть одинаковыми.

Умножив все три формы на минус единицу, получим, что оба канонических представления исходной квадратичной формы имеют одинаковое число отрицательных коэффициентов. Ясно, что тогда совпадают и числа нулевых коэффициентов.

Существует ещё один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду. Он основан на особых свойствах собственных чисел и собственных векторов симметричных матриц. Рассмотрим этот метод для случая симметричной матрицы третьего порядка (назовём её A), имеющей три различных собственных числа , , и, соответственно, три собственных вектора: , , .

Будем считать, что эти векторы нормированы (вектор называется нормированным, если , то есть, если ).

Покажем, что векторы и ортогональны. Это значит, по определению, что преобразуем произведение двумяспособами:

и .

Приравняем правые части: . Отсюда .

Поскольку , , так что равно нулю произведение . Ортогональность и , и доказывается аналогично.

Покажем, что векторы , , линейно независимы. Предположим, что . Умножив обе части этого равенства на слева, получим, что . Учитывая нормированность вектора и его ортогональность векторам и , получаем, что

, следовательно, α = 0. Так же доказывается, что β = 0 и γ = 0. Это означает, что векторы , и линейно независимы.

Рассмотрим матрицу P = (X ₁ X ₂ X ₃), столбцами которой служат векторы , , . Эта матрица, в силу линейной независимости её столбцов, не вырождена и, кроме того, обладает замечательным свойством ортогональности, а именно, P ^Τ P = E (то есть ). Действительно,

P ^Τ P =

Теперь предположим, что A – матрица некоторой квадратичной формы. Произведём линейную замену переменных X = PY. Матрица новой квадратичной формы равна, как известно, P ^Τ AP. Воспользуемся тем, что матрица P составлена из собственных векторов матрицы A. Тогда =

Таким образом, замена X = PY приводит матрицу квадратичной формы к диагональному виду. Покажем, что при такой замене собственные векторы исходной матрицы преобразуются в собственные векторы новой матрицы.

Равенство X = PY эквивалентно равенству . Пусть , тогда .

Аналогично вводятся векторы , и доказывается, что это собственные векторы матрицы , отвечающие собственным числам λ₂, λ₃, соответственно.

Пример. Приведём к каноническому виду квадратичную форму . Выпишем матрицу коэффициентов A = . Найдём характеристическое уравнение матрицы A.

С этой целью вычислим определитель .

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы A имеет вид . Его корнями являются , , .

Собственный вектор , отвечающий собственному числу ,находится из системы с расширенной матрицей

~ . Положим его первую координату равной единице, тогда . собственный вектор ,отвечающий собственному числу ,находится из системы с расширенной матрицей ~ ~ ~ . Положим его третью координату равной единице, тогда .

При имеем ~ ~ . Полагая третью координату равной единице, получаем, что .

Суммы квадратов координат векторов , , равны, соответственно 2, 3 и 6, поэтому, чтобы получить нормированные собственные векторы и составить из них ортогональную матрицу P, координаты каждого из векторов , , нужно поделить на , соответственно. Получим .

Тогда . Убедимся в ортогональности этой матрицы, умножив её на транспонированную.

.

преобразование , или , даёт новую квадратичную форму с матрицей . Вычислим матрицу .

= = .

Таким образом, исходная квадратичная форма приводится к виду .

Приведение к каноническому виду можно осуществить методом Лагранжа:

Здесь , откуда . Если , то . Заметим, что матрица Q ортогональной не является.

Квадратичные формы и отличаются коэффициентами, но количество положительных (два) и отрицательных (один) коэффициентов при квадратах переменных у них совпадает.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры